Fundamentos da Matemática

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Palavra do Professor-autor

A Matemática está inserida na vida do ser humano, de forma que, está presente em tudo que fazemos ou desenvolvemos. Portanto, é necessário que seja trabalhada nas séries iniciais do ensino fundamental como instrumento de leitura, interpretação e análise de problemas que, as crianças enfrentam no cotidiano. A busca pela resolução, e solução de problemas faz revisar concepções, modificar ideias antigas, inventar procedimentos e elaborar novos conhecimentos.

Dentro desta perspectiva é necessário ajudar o estudante a aprender matemática e a organizar situações didáticas que, contribuam efetivamente para que ele se envolva em atividades intelectuais.

Esta disciplina foi estruturada com o objetivo de propiciar reflexões sobre a Metodologia do Ensino de Matemática, bem como propor discussões com os mais atuais teóricos em Educação Matemática, objetivando estruturar sua prática pedagógica.

Seu aproveitamento efetivo é necessário para que a disciplina lhe ofereça estratégias didáticas interessantes e aplicáveis em sala de aula. A troca de experiências produz novos conhecimentos.

Autores

João José Saraiva da Fonseca, pós-Doutor em Educação pela Universidade de Aveiro em Portugal, Doutor em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (2008), Mestre em Ciências da Educação pela Universidade Católica Portuguesa - Lisboa (1999) (validado no Brasil pela Universidade Federal do Ceará), Especialista em Educação Multicultural pela Universidade Católica Portuguesa - Lisboa (1994). Graduou-se em Ensino de Matemática e Ciências pela Escola Superior de Educação de Lisboa (validado no Brasil pela Universidade Estadual do Ceará). Pesquisador na área da produção de conteúdo para educação a distância. Atualmente desempenha a função de Pró-Diretor de Inovação Pedagógica das Faculdades INTA - Sobral CE.

Osvaldo Neto Sousa Costa, Especialista em Gestão, Supervisão e Orientação Educacional. Graduado em Pedagogia, pela Universidade Estadual Vale do Acaraú (UVA). Atua como professor efetivo na Escola de Ensino Fundamental Inácia Ro¬drigues/ Cariré- CE. Possui experiência docente em Institutos de Educação Superior, atuando em disciplinas nos cursos de licenciatura.

Ambientação

A Metodologia do Ensino da Matemática tem por objetivo compreender o conhecimento matemático, de forma a preparar o futuro professor, para as atividades de planejamento e o ensino da disciplina de Matemática.

Será proposta uma visão geral do surgimento da matemática até o período moderno de sua aplicação, bem como, as principais concepções pedagógicas do ensino e formação de professores para educação básica. Abordaremos discussões das principais teorias de epistemologia matemática, propostas por Piaget, propondo as concepções do surgimento do pensamento lógico matemático. A matemática é a ciência base para várias áreas do conhecimento, por isso, é necessário procurar novas formas (métodos) para ensiná-la, buscando maior eficiência no processo de ensino e aprendizagem no âmbito escolar.

Nessa perspectiva as ações de formação docente, devem se consolidar, em termos de uma discussão dos princípios norteadores das reformas curriculares em vigor, situando-as no âmbito das recentes conquistas da pesquisa em Educação Matemática, de seleção e elaboração de materiais didáticos, no auxílio ao preparo das aulas, no seu acompanhamento e avaliação.

A partir desta ótica, o estudo desta disciplina, será de forma criativa com leituras de textos voltados para a área de atuação do professor, fazendo discussões com principais autores consagrados da área de Pedagogia, além de testes e exercícios para que o estudante sinta-se envolvido com esta disciplina.

Dentro dessa proposta é sugerida a leitura do livro Educação Matemática: da teoria à prática. A obra vem adotar uma nova postura educacional que substitua o ensino e aprendizagem, desgastado. Após fazer considerações de caráter geral, abordando aspectos de cognição da natureza da matemática e questões teóricas da educação, o autor discute inovações na prática docente propondo reflexões sobre a matemática.

Trocando ideias com os autores

Agora é momento de interagir com alguns autores.

Propomos a leitura de algumas obras.

Metodologia do Ensino da Matemática

Introdução à História da Matemática

Guia de Estudo

Após a leitura das obras, escolha uma e produza uma resenha crítica. Comente com seus colegas na sala virtual.

Sugerimos que leia a obra: Metodologia do Ensino da Matemática, pois é abordado o futuro professor no domínio dos conteúdos básicos e da metodologia da matemática, sugerindo uma transformação no modo de perceber e compreender o papel desta disciplina no currículo escolar.

CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do Ensino da Matemática. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2004.

Propomos também a leitura da obra: Introdução à História da Matemática. Nesta obra, o autor narra a História da Matemática desde a Antiguidade. O livro faz um exame das obras consideradas mais importantes por Howard Eves e alguns capítulos são introduzidos por panoramas culturais da época abordada.

EVES, HAWARD. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.

Problematizando

Imaginemos a situação: um professor que leciona a disciplina de matemática para uma determinada turma do ensino Fundamental vem percebendo que, o desânimo e desestímulo tomaram conta dos conteúdos para as suas turmas. Seus planos não estão dando mais certo, nada parece funcionar, o interesse dos estudantes em aprender ficou para trás, demonstram pouco interesse pelas aulas, riscam as carteiras, os livros, fazem desenhos durante as explicações. A Matemática na sala de aula não tem importância, as conversas paralelas e brincadeiras ganham maior espaço no decorrer do tempo que vai passando, sem que haja um bom aproveitamento para os estudos.

Que tipo de erros este educador está sofrendo? Quem é o culpado deste caos no processo de ensino e aprendizagem? De que forma o educador poderia inverter esta situação?

Diante dos conhecimentos sobre as tendências pedagógicas, os educadores responsáveis pelo ensino da matemática, ao tomar consciência de que não pode continuar nos moldes tradicionais, partiram para busca de alternativas que colocassem a prática pedagógica do processo ensino aprendizagem de matemática em sintonia com as propostas modernas de educação.

Baseado na situação acima: se fosse você no lugar deste educador, que iniciativas tomaria diante um cenário como este? Reflita, responda e comente com seus colegas.

A História da Matemática

1

Conhecimentos

  • Compreender a origem da matemática e os cinco modelos de Tendências para o Ensino da Matemática.
  • Habilidades

  • Identificar os modelos de tendências pedagógicas para o Ensino da Matemática.
  • Atitudes

  • Utilizar em sala de aula os modelos de tendências pedagógicas para o Ensino da Matemática
  • Unidade 1

    Introdução

    Aprender matemática é um direito básico de todas as pessoas e uma resposta às necessidades individuais e sociais de natureza cultural, prática e cívica que tem a ver ao mesmo tempo com o desenvolvimento dos estudantes enquanto indivíduos e membros da sociedade. Neste sentido, seria impensável que não se proporcionasse a todos a oportunidade de aprender matemática de um modo realmente significativo. Isto implica que todas as crianças e jovens devem ter possibilidade de constatar, a um nível apropriado, com as ideias e os métodos fundamentais da matemática e de apreciar o seu valor e a sua natureza. A matemática pode contribuir de um modo significativo e insubstituível, para ajudar os estudantes a se tornarem indivíduos não dependentes, mas pelo contrário competentes críticos e confiantes nos aspectos essenciais em que a sua vida se relaciona com a matemática (ABRANTES; SERRAZINA ; OLIVEIRA, 1999).

    Origem

    A matemática ('ciência', conhecimento' ou 'aprendizagem'=inclinado a aprender') é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. A matemática estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas.

    A História da matemática parte do princípio de que o estudo da construção histórica do conhecimento matemático leva a uma maior compreensão da evolução do conceito. (D’AMBROSIO, 1989).

    Os homens das cavernas não conheciam os números e nem sabiam contar. No decorrer dos anos sentiram a necessidade de utilizar a contagem. Com isso surgiu os números. Nesse período o homem realizava atividades como: a caça e pesca, plantar, criar animais. A partir do momento que sentiram a necessidade de verificar se havia perdido algum animal, passava a representá-lo com uma pedra, a cada animal que saia para pastar, uma pedra era separada.

    Com o passar do tempo houve a necessidade de efetuar contagens mais extensas, com isso cada civilização desenvolveu o seu próprio sistema numérico de forma sistematizada. No antigo Egito foi desenvolvido um sistema de base 101, na Babilônia foi desenvolvido um sistema com base 60, na Grécia um sistema de representação alfabético, já na Índia utilizavam um sistema decimal.

    Mas, o que é sistema numérico decimal
    O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. Os dez algarismos indo-arábicos : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 servem para contar unidades, dezenas, centenas, etc. Da direita para a esquerda, cada algarismo tem um valor diferente segundo sua posição no número: assim, em 111, o primeiro algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1. Fonte: http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/historia_numeros.pdf

    Unidade 1

    Uma parte significativa do que se denomina hoje matemática provém de ideias que originalmente estavam centradas nos conceitos de número, grandeza e forma. Em um determinado período considerou-se que a matemática se ocupava no mundo em que nosso sentido percebia. A partir do século XIV a matemática pura libertou-se das limitações sugeridas apenas pela natureza. Ao analisar o surgimento evolutivo desta disciplina parece pouco provável que tal noção tenha sido uma descoberta apenas de um individuo, ou de uma tribo. O seu surgimento deu-se de forma gradual surgida tão cedo no desenvolvimento humano quanto ao uso do fogo, talvez haja 3.000 anos.

    É suposto que o surgimento da matemática venha em resposta a necessidades práticas, entretanto estudos antropológicos sugerem outras possibilidades de origem. Estudos relevantes apontam que a arte de contar surgiu com uma conexão entre rituais religiosos primitivos e que o aspecto ordinal precedeu o conceito quantitativo. O conceito de número inteiro se perdeu com o tempo da antiguidade pré-histórica. Se a história dos números nos parece imprecisa imagine a aplicação na geometria.

    A Matemática no século XX

    A matemática proposta no século XX foi essencialmente caracterizada por tendências que já eram percebidas no fim do século XIX. A ênfase dada nas estruturas subjacentes comuns, que indicam correspondências entre áreas da matemática que tinham sido consideradas até aquele momento, é uma teoria que pode se configurar nesta tendência. Dentre os aspectos mais notáveis, na matemática contemporânea, vem o ressurgimento da geometria, ainda que em forma moderna. Ao findar o século as atitudes com relação ao futuro da matemática, não estão de acordo com os pensamentos pessimistas do final do século XVIII, nem o otimismo de Hilbert (todo problema matemático bem colocado tem uma solução) ao fim do século XIX. Parece que a História é apoiada pela reflexão de André Weil, que surgiu em um período ainda mais sombrio. (BOYER, 2003).

    Baseado no estruturalismo de Bourbaki e Piaget resultou em uma reforma mundial de ensino, conhecida como Matemática Moderna. Com a pretensão de livrar cálculos sem sentido e com a reforma da Matemática Moderna incentivou a criação de grupos de estudos e pesquisas com a finalidade de transformar a instrução matemática em educação matemática. (D’ AMBRÓSIO, 2007).

    A instrução matemática era entendida como a transmissão de conhecimento, pois o estudante não tinha a possibilidade de exercitar seu raciocínio enquanto que a educação matemática, o estudante tinha a possibilidade de pensar por si próprio. Diante da ruptura histórica, a vida contemporânea e o advento das novas tecnologias passaram a depender do computador. De acordo com D’ Ambrosio (1989) o uso de computadores: procura possibilitar ao estudante criar e fazer matemática, assumindo fazer parte integrante do processo de construção de seus conceitos.

    Matemática no Brasil

    No Brasil, a História da Matemática indica que a formação do matemático voltada para a pesquisa, teve seu marco na década de 30, conforme destaca D’Ambrósio (2007, p.56):

    (...) Em 1933 foi criada a Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo e logo em seguimento a Universidade do Distrito Federal, foi mudada em Universidade do Brasil em 1937. Nessas instituições inicia-se a formação dos primeiros pesquisadores Modernos de Matemática no Brasil. (...)

    Unidade 1

    Foi através da criação das Faculdades de Letras, Filosofia e Ciências que, surgiram os primeiros cursos de licenciatura para formação de professores de matemática do antigo ginásio que, corresponde ao então atual 6º ao 9° ano. Nesse período, as séries iniciais eram de responsabilidade de professores oriundos do curso normal equivalente ao ensino médio atual, com a disciplina matemática nas três séries. No entanto, o modelo adotado nas licenciaturas era de três anos dedicados ao estudo da matemática e ao término do curso o estudante recebia o titulo de bacharel. Com mais um ano no curso com as disciplinas pedagógicas, como: Didática Geral, Didática Especial da Matemática e Psicologia da Criança e do Adolescente, o estudante adquiria o titulo de licenciado para ensinar matemática.

    A literatura utilizada nessa época era de origem francesa com uma mesclagem de algumas produções didáticas brasileiras, dos quais se merece destaque, a de Júlio Cesar de Melo e Souza no qual se inspirou na literatura árabe e passou a escrever sobre o pseudônimo de Malba Tahan, as coleções de Jácomo Stávale, Ary Quintella e Algacyr Munhoz Maeder, também são de importância para a História da Matemática no Brasil.

    O Brasil passou três décadas nos moldes tradicionais sem propostas de inovação, apenas nos conteúdos sugeridos por essas literaturas. Na década de 60, surgiu o primeiro grupo de estudos de matemática, liderado por Osvaldo Sangiorgi, em São Paulo.

    Posteriormente começaram a surgir novos grupos nos Estados do Rio Grande do Sul e Rio de Janeiro, justamente no período em que diferentes países do mundo passaram a discutir questões relativas à educação matemática, influenciada pelo movimento da Matemática moderna. Esse movimento marcou o inicio de mudanças na metodologia do ensino da Matemática, dessa forma começou a conceber uma lógica de organização das operações realizadas dentro do universo de conjuntos numéricos em consonância com teoremas, fórmulas, axiomas e demonstrações peculiares ao conhecimento matemático.

    Atualmente, o professor de Matemática das séries iniciais do Ensino Fundamental é formado pelo curso de Licenciatura Plena em Pedagogia, trabalhando com turmas do 6° ao 9° ano, enquanto que para o Ensino Médio são formados em licenciatura plena em Matemática.

    O Ensino da Matemática

    As tendências pedagógicas mencionam às concepções teóricas dos modelos pedagógicos que, são estruturadas para qualquer tipo de saber, inclusive o matemático. Elas foram elaboradas por Dermeval Saviani (1991) que desenvolveu um esquema lógico baseado na criticidade. As teorias foram classificadas em: “teorias não-críticas” e “teorias críticas”.

    Unidade 1

    O quadro abaixo mostra de forma literal ou sintética as ideias de Dermeval Saviani (1990):

    Classificação das Teorias
    Concepções Teóricas / Modelos Pedagógicos
    Não – Críticas (liberais)
    Pedagogia Tradicional
    Ensino Tradicional
    Concepção Humanista Moderna Escola Nova (Pedagogia Renovada)
    Concepção Humanista Moderna Tecnicista
    Crítico Reprodutivistas
    Violência Simbólica: não apresentam propostas pedagógicas, visto que entendem a escola como instrumento de reprodução das condições sociais. Fundamentos Metodológicos do Ensino de Língua Portuguesa- Revisão
    Dialéticas Pedagogia Histórico-Crítica: excluindo experiências esporádicas
    Progressistas - Pedagogia Crítico-Social dos Conteúdos. Esta corrente encontra pouca ressonância na prática pedagógica dos educadores brasileiros.
    Pedagogia Libertadora: tem sido empregada com êxito em vários setores dos movimentos sociais (sindicatos, associações de bairro, comunidades religiosas e alfabetização de adultos).

    A partir dos conhecimentos sobre as tendências pedagógicas, os responsáveis pelo ensino da matemática, propõem que o ensino não poderia mais continuar dentro dos moldes tradicionais, e partiram para a busca de alternativas que colocassem o processo de ensino e aprendizagem dentro das práticas pedagógicas em sintonia com modelos mais atuais de educação.

    Desta forma, existem cinco modelos de tendências para o ensino de matemática que são denominadas: Etnomatemática, História da Matemática, Matemática Crítica, Modelagem Matemática e Resolução de Problemas. Será definida de forma sintética cada uma dessas tendências:

    Etnomatemática

    O prefixo Etno é semelhante à etnia, um grupo de pessoas que possuem a mesma língua, a mesma cultura e os mesmos rituais religiosos. Para D’Ambrósio (1993), a etnomatemática “é a matemática usada por um grupo cultural definido na solução de problemas e nas atividades do dia a dia”. O termo surgiu, após o fracasso da Matemática tradicional, que possuía um componente comum, uma só visão, uma só verdade. Sem espaço para questionamentos. Paralelamente ao ensino tradicional crescia uma corrente alternativa entre os educadores, que percebiam que não havia espaço dentro da matemática para o saber empírico do estudante.

    Etnomatemática valoriza a matemática dos diferentes grupos culturais. Propõe-se uma maior valorização dos conceitos matemáticos informais construídos pelos estudantes através de suas experiências, fora do contexto da escola. (D’AMBROSIO, 1989).

    Unidade 1

    Segundo D’Ambrósio (1993), o conceito de etnomatemática é um corpo de artes, técnicas, modo de conhecer, explicar e entender em ambientes com diferentes culturas as competências e habilidades de comparar, classificar, ordenar, medir, contar, inferir e transcender através do saber matemático e outros que fluem do ambiente natural e cultural dos seres humanos.

    O programa Etnomatemática, tem em sua proposta um rompimento de parâmetros do ensino tradicional, quando propõe uma adequação sociocultural através de formas de trabalhar, que estejam de acordo com o cotidiano dos mais diferentes espaços naturais da sobrevivência humana:

    O Programa Etnomatemática tem importantes implicações pedagógicas. Educação é, em geral, um exercício de criatividade. Muito mais de transmitir ao aprendente teorias e conceitos feitos, para que ele as memorize e repita quando solicitado em exames e testes, a educação deve fornecer ao aprendente os instrumentos comunicativos, analíticos e tecnológicos necessários para sua sobrevivência e transcendência. Esses instrumentos só farão sentido se referidos à cultura do aprendente ou explicitados como tendo sido adquiridos de outra cultura ou inserido num discurso crítico. O programa Etnomatemática destaca a dinâmica e a crítica dessa aquisição. (D’AMBROÓSIO, 1993, p.3)

    A etnomatemática é um programa de um campo de pesquisa com uso na prática pedagógica do ensino de matemática, que foge dos modelos tradicionais quando abre espaço para um sistema que utiliza tecnologia da informação e comunicação, ajustando-se nas exigências de uso dos saberes matemáticos no contexto sociocultural dos ambientes naturais dos seres humanos. É um misto de ciência pura, entendida como verdade absoluta e ciência advinda do saber popular. Esse misto consegue juntar harmoniosamente ciência e sabedoria popular.

    Segundo Sebastiani Ferreira (1997), considera a etnomatemática como uma proposta metodológica, em que os estudantes são preparados para realizar pesquisa de campo. O procedimento de coleta de dados, que culmina com a análise da pesquisa em sala de aula, a ação mais importante consiste no retorno nos resultados da pesquisa de campo à comunidade. De acordo com ele, “... o Programa Pedagógico da Etnomatemática é [...] um dos paradigmas mais completos da educação de hoje” (FERREIRA, 1997, p.44).

    A História da Matemática

    A tendência da Educação Matemática propõe colocar a construção histórica do pensamento matemático como, mecanismo de compreensão da evolução dos conceitos, dando ênfase aos obstáculos das dificuldades epistemológicas inerentes a sua evolução. A metodologia utilizada pela História da Matemática em sala de aula ou pesquisas conduz os estudantes ou pesquisadores a verificar que, as teorias expostas como acabadas, resultam sempre em desafios da sociedade. Para os matemáticos, o grande esforço, quase sempre é diferente dos resultados obtidos e mostrados após o processo de descoberta.

    Dentro desse contexto, o conhecimento matemático é exposto como uma criação humana em diferentes culturas e momentos históricos da evolução. Essa ação poderá ser usada pelos professores, para desenvolver junto aos estudantes atitudes e valores dados ao desenvolvimento da relevância pelo estudo matemático. Sobre isto, vale a pena observar as considerações:

    Unidade 1

    Ao revelar a matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático. BRASIL, (1997, p.34)

    A tendência Histórica da Matemática propõe ao estudante a oportunidade de perceber que é um conjunto de conhecimentos em constante evolução que desempenha um importante papel na sua formação. De forma a permitir também a interdisciplinaridade com outros conhecimentos, apresentando-os como parte da cultura universal e indispensável à sobrevivência humana.

    Matemática Crítica

    Para você compreender o propósito da Educação Matemática Crítica, perguntamos primeiro o que significa ser crítica? Como o conhecimento matemático pode auxiliar no exercício de uma postura crítica? No primeiro momento, podemos dizer que ser crítico pode estar relacionado a alguma pessoa ou algum aspecto da realidade procurando ou identificando alternativas para algo.

    No século XX, o mundo foi aluído pela segunda guerra mundial, além do conflito diante da ameaça de armas nucleares, domínio ideológico e econômico, de forma que esse processo que o mundo vivenciou teve influência do socialismo marxista, que embasou a teoria histórico-crítica.

    Os mais diferentes setores da sociedade foram influenciados por essa teoria. A educação foi uma delas, no ensino de matemática surgiu à vertente denominada “Educação Matemática Crítica”. Novas coordenadas foram propostas ao currículo de Matemática do ensino primário ao secundário, e tinha como principal ideal a reorganização do ensino da matemática diante as grandes transformações da ciência e sociedade. Uma das intenções dessa vertente era elevar o nível cientifico da sociedade escolarizada, no entanto, foi barrado por um movimento internacional liderado pelos Estados Unidos da América, chamado de Matemática Moderna que contribuiu com a organização dos conteúdos através da teoria dos conjuntos, e ao mesmo tempo colocou uma linguagem lógica em todos os níveis de ensino, que causou problemas de aprendizagem principalmente no nível elementar.

    O professor dinamarquês Ole Skovsmose é um dos principais responsáveis por divulgar o movimento da “educação matemática crítica” ao redor do mundo. Com Mestrado em Filosofia e Matemática pela Universidade de Copenhague e Doutorado em Educação Matemática pela Royal Danish School of Education Studies, Skovsmose, defende em seus trabalhos o direito à democracia e o ensino de matemática a partir de trabalhos com projetos. Para ele, a Educação Matemática crítica possui um importante papel no mundo. Skovsmose questiona as práticas tradicionais, muitas vezes realizadas sem reflexão, como a ênfase excessiva na realização de listas de exercícios, que pode comprometer a qualidade da aula de matemática e acredita que a Educação Matemática Crítica possui um importante papel no mundo atual, sobretudo em função do avanço tecnológico. (D’ AMBRÓSIO, 1993).

    Unidade 1

    Skovsmose sempre se preocupou com os países localizados fora dos centros de poder, o que o levou a viajar pelo mundo orientando e desenvolvendo pesquisas. Está sempre em contato com professores e pesquisadores da África do Sul, Colômbia e Brasil. Em nosso país, ele visita anualmente o programa de Pós-Graduação da Universidade Estadual Paulista - UNESP, em Rio Claro, São Paulo. Atualmente, Skovsmose é professor do Departamento de Educação, Aprendizagem e Filosofia da Universidade de Aalborg, na Dinamarca. Tem livros publicados em português, como Educação.

    A Educação Matemática Crítica propõe uma prática pedagógica de sala de aula que deve ser baseada em um cenário de investigação, de forma a convidar os estudantes a formular questões e a pesquisar explicações.

    Modelagem Matemática

    A Modelagem Matemática procura estudar e formalizar fenômenos do dia a dia. Um aspecto essencial da atividade de modelagem consiste em construir um modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo e interpretar os resultados obtidos. Busca que o estudante se torne mais consciente da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do cotidiano. (D’AMBROSIO, 1989).

    O professor tem ao dispor diversas propostas de trabalho. A sua escolha é influenciada por múltiplas variáveis: o ponto de vista do professor a respeito da disciplina ensinada, seu ponto de vista a respeito dos objetivos gerais do ensino e a respeito dos objetivos que considera específicos da matemática, seu ponto de vista a respeito dos estudantes (suas possibilidades, suas expectativas), a imagem que faz das demandas da instituição de ensino (explícitas, implícitas e supostas), da demanda social e também dos pais dos estudantes (CHARNEY, 2001, p.38)

    Várias são as propostas de trabalho para o ensino de matemática e as diversas propostas se complementam, sendo difícil, num trabalho escolar, desenvolver a matemática de forma rica para todos os estudantes se enfatizarmos apenas uma linha metodológica.

    Resolução de Problemas

    A resolução de problemas apresenta-se nas propostas educacionais atuais como um elemento que favorece a construção de conhecimento matemático. A experiência tem mostrado que o conhecimento matemático, ganha significado quando os estudantes têm situações desafiadoras para resolverem e trabalharem no desenvolvimento das estratégias de resolução, daí a solução de problemas como ponto de partida da atividade matemática. A Declaração Mundial sobre Educação para Todos da UNESCO, indica explicitamente a resolução de problemas como um dos instrumentos de aprendizagem essenciais.

    Conforme D’ Ambrósio (1989) a resolução de problemas visa à construção de conceitos matemáticos, pelo estudante, através de situações que estimulam a sua curiosidade matemática. Através de suas experiências com problemas de natureza diferente, o estudante interpreta o fenômeno matemático e procura explicá-lo dentro de sua concepção da matemática envolvida.

    No trabalho com resolução de problemas, o papel do estudante, é participar de um esforço coletivo para construir a resolução de um problema, com direito a ensaios e erros, exposição de dúvidas, explicitação, raciocínios e validação de resultados. Dessa forma, terá oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos, bem como, de ampliar a visão que tem do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. Nessa perspectiva, a resolução de problemas, possibilita aos estudantes, mobilizar conhecimentos e organizar as informações de que eles dispõem para alcançar novos resultados (BRASIL, 1999).

    Unidade 1

    Contribuição da resolução de problemas para o Ensino de Matemática

    Um dos objetivos da utilização da resolução de problemas no ensino de matemática é conseguir que os estudantes pensem matematicamente, que não aprendam apenas regras, técnicas e estratégias prontas e acabadas, mas que cheguem também a compreender os conceitos subjacentes à prática da matemática. (RABELO, 2002). Um problema deve apresentar um desafio, a necessidade da elaboração de um planejamento e a validação do processo de solução.

    O ensino de matemática com o auxílio da resolução de problemas deve possibilitar aos estudantes:

    • Usar uma abordagem de resolução de problemas para investigar e compreender o conteúdo matemático;
    • Formular problemas a partir de situações matemáticas e do cotidiano;
    • Desenvolver e aplicar estratégias para resolver uma grande variedade de problemas;
    • Verificar e interpretar resultados comparando-os com o problema original;
    • Adquirir confiança para usar a Matemática de forma significante.

    Os estudantes mais velhos podem ainda generalizar soluções e estratégias para novas situações problemas (MATOS; SERRAZINA, 1996).

    O ensino da resolução de problemas pode ser de três tipos:

    • Ensino para a resolução de problemas valoriza a aquisição de técnicas e conhecimentos matemáticos, que podem ser úteis na implementação de estratégias para a resolução de problemas;
    • No ensino acerca da resolução de problemas são relacionados procedimentos e estratégias, com o objetivo de modelar comportamentos capazes de ajudar os estudantes a se tornarem mais aptos em resolver problemas;
    • No ensino através da resolução de problemas, todos os conteúdos matemáticos são apresentados no contexto de situações problemas.

    Modelo para a resolução de problemas

    O modelo proposto por Polya (1995), na sua obra A arte de resolver problemas considera quatro fases:

    1ª - Compreensão do problema – Analisar detalhadamente o enunciado até encontrar, com precisão, quais são os dados e a sua condição. Muitas vezes as dificuldades encontradas na compreensão do problema advêm de dificuldades de leitura e de compreensão do texto. Mostra-se assim, indispensável, num primeiro passo, trabalhar o texto cuidadosamente até à sua compreensão. Os estudantes procuram os dados do problema sem muito critério, operam com esses dados de qualquer forma e dão respostas que não têm sentido ou plausibilidade. Torna-se, pois, necessário alertá-los para a importância de procurar dados de uma maneira consciente, ver quais as condições que relacionam esses dados e interpretar o sentido que têm relativamente ao que é pedido. (SARRAZINA, 1993).

    Unidade 1

    Para compreender o problema é necessário fazer alguns questionamentos:

    1. O que se pede no problema?
    2. Quais são os dados e as condições do problema?
    3. É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?
    4. É possível estimar uma resposta?

    2ª - Estabelecimento de um plano – Tentar, usando a experiência passada, encontrar um plano de ação, um método de solução. Isso, pode acontecer gradualmente, ou, então, após várias tentativas. É preciso encontrar conexões entre os dados. Ou seja:

    1. Qual o plano para resolver o problema?
    2. Que estratégia pode-se tentar desenvolver?
    3. Lembrar de um problema semelhante que pode ajudar a resolver.
    4. Organizar os dados em tabelas e gráficos.
    5. Tentar resolver o problema por partes.

    Execução do plano – Experimentar o plano de solução passo a passo. O plano proporciona apenas um roteiro geral. É preciso examinar e executar os detalhes um a um, até que, tudo fique perfeitamente claro, ou seja:

    1. Executar o plano elaborado, verificando-o passo a passo.
    2. Efetuar todos os cálculos indicados no plano.
    3. Executar todas as estratégias pensadas para resolver o mesmo problema.

    4ª - Reflexão sobre o que foi feito – Checar o resultado por outros caminhos. Efetuar uma revisão crítica do trabalho realizado, checando o resultado e o raciocínio utilizado, ou seja:

    1. Examinar se a solução obtida está correta.
    2. Existe outra maneira de resolver o problema?
    3. É possível usar este método para resolver outros problemas?

    Diferença entre problema e exercício

    Um pormenor que, por vezes, suscita alguma discussão é a relação entre exercício e problema e recorrem a vários autores, para distinguirem sete tipos de problemas:

    1. O exercício formulado de uma maneira explícita, em que, o contexto é inexistente e em que as estratégias de resolução se resumem à aplicação de regras e algoritmos conhecidos que conduzem à solução que, regra geral, é única:

    Unidade 1

    Calcular o valor de x²-3x, para x=2.

    2. Os problemas de palavras que, de uma forma geral se distinguem dos exercícios na medida, em que é clara e explícita a presença do contexto do problema:

    Um cliente comprou num dia 2,3 metros de fazenda. No dia seguinte, comprou mais 1,5 metros da mesma fazenda. Quantos metros de fazenda comprou no total?

    3. Os problemas para descobrir, caracterizados por uma formulação e um contexto explícito, em que, as estratégias de resolução envolvem regra geral a descoberta de um truque que conduz à solução que, nestes problemas, é regra geral, única:

    Usando apenas 6 fósforos, formar quatro triângulos equiláteros.

    4. Os problemas que consistem em provar uma conjectura, em que a formulação é explícita e onde a solução é, normalmente, única:

    Usando os casos de semelhança de triângulos, mostre que a altura relativa à hipotenusa, divide um triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes.

    5. Os problemas da vida real, em que a formulação e o contexto não são totalmente explícitos no respectivo enunciado, sendo pelo contrário, necessário proceder a recolha de informação complementar. Normalmente, a resolução desse tipo de problema envolve a criação de um modelo matemático que, traduza a situação apresentada, a aplicação de técnicas matemáticas na exploração do modelo e a tradução dos resultados obtidos, para a situação da vida real, a fim de, confirmar a validade da situação encontrada:

    Construir uma planta de um estádio – um campo de futebol e uma pista de atletismo.

    6. As situações problemas, em que o contexto é apenas parcialmente explícito e, em que as estratégias de resolução, além de envolverem a exploração do contexto, implicam a reformulação do problema e a exploração de novos problemas.

    O produto de três números inteiros consecutivos é sempre um número par de múltiplos de 3. Comentar a situação se substituirmos produto por soma.

    7. As situações ainda não problemas, em que não há qualquer formulação do problema e em que é feito um convite à exploração do contexto:

    Unidade 1

    Considere uma página cheia de números:

    0 1 2 3
    4 5 6 7
    8 9 10 11
    12 13 14 15
    ... ... ... ...

    Apesar de não ser a única dimensão a considerar, um aspecto essencial para caracterizar um problema é o fato de ser uma atividade para a qual o aluno não dispõe de um método de resolução imediato. “Não dispõe de um processo ou algoritmo que ele sabe previamente que conduzirá à solução”. (MATOS; SARRAZINA, 1996)

    O professor e a formação para o Ensino da Matemática

    O docente e a formação para o Ensino da Matemática, na educação infantil e nas séries iniciais do ensino fundamental têm sido muito questionados em função das propostas de formações iniciais e também nas agências de formadores de profissionais para este ramo do saber. Segundo D’Ambrósio (2007), as qualidades de um professor de matemática, estão sintetizadas em três categorias: emocional/afetiva, política e conhecimento.

    Nessa definição, várias questões são esclarecidas no processo de formação do educador para trabalhar o ensino da matemática. Dentre essas questões, há de indagar sobre o comando do saber matemático que possui caráter abstrato, onde seus conceitos e resultados têm origem no mundo real, destinados às muitas aplicações em outras ciências e inúmeras aplicações práticas do cotidiano. Com relação à formação do professor de matemática, a racionalidade formativa mostra que, as competências e habilidades são capazes de responder as exigências e multiplicidades das situações que transpõem o exercício da docência na sociedade do conhecimento, da ciência, da informação e tecnologia.

    Essas competências e habilidades respondem também as exigências para a formação do professor com relação a interdisciplinaridade e a investigação do cotidiano, da prática pedagógica pela pesquisa e domínio intrínsecos a profissão docente.

    Pensar a formação de professores implica, portanto, pensar que o exercício da docência, conforme Tardif (1991), requer a mobilização de vários tipos de saberes: saberes pedagógicos (reflexão sobre a prática educativa mais ampla), saberes das disciplinas (envolvem vários campos do conhecimento e concretizam-se pela operacionalização dos programas), saberes curriculares (selecionados no contexto da cultura erudita) e os saberes da experiência (constituem-se saberes específicos no exercício da atividade profissional).(BRITO, 2006, p.45)

    De forma resumida, há de se entender que, em uma sociedade complexa onde a rapidez das informações e mudanças proporcionadas pelo avanço das ciências e tecnologias é constante, a formação do professor de matemática, requer reflexões e ações dinâmicas propostas para construir e reconstruir saberes que são necessários à prática pedagógica reflexiva.

    Epistemologia do pensamento matemático

    2

    Conhecimentos

  • Conhecer a teoria cognitiva desenvolvida por Jean Piaget e os estágios de desenvolvimento mental.
  • Habilidades

  • Identificar os estágios de desenvolvimento e as provas operatórias de Piaget.
  • Atitudes

  • Utilizar em sala de aula as provas operatórias de Piaget.
  • Unidade 2

    A Epistemologia Genética de Jean Piaget

    A Teoria cognitiva desenvolvida por Jean Piaget (1896-1980) chamada de epistemologia genética está, articulada em dois conceitos: Epistemologia (estudo do conhecimento) e Gênese (origem). Têm como principio a existência entre a continuidade dos processos biológicos de morfogênese e adaptação ao meio e a inteligência. Sua dedicação consistia no estudo da origem do conhecimento, como se dá o processo de aquisição do conhecimento menos organizado para um mais organizado. De forma que, a teoria de Piaget é uma teoria primeiramente do desenvolvimento e os esquemas de conhecimento são precisamente o que se desenvolve.

    Devido à pertinência do seu trabalho e suas preocupações epistemológicas, biológicas, psicológicas e lógica matemática, tem sido difundida e aplicada no ambiente educacional, em especial na Didática. Para Piaget, a evolução da lógica e da moral, pode ser resumida em quatro estágios de desenvolvimento mental: sensório-motor, intuitivo ou simbólico, operatório concreto e operatório formal.

    Quando a criança nasce sua maneira de conhecer o mundo, sobretudo, predominantemente seu desenvolvimento é o das percepções e movimentos. Não podendo dizer ainda, que a criança pensa. Sua evolução se dá à medida que, aprende a coordenar suas sensações e movimentos, a esse estágio, denominamos de sensório-motor. Aproximadamente por volta dos dois anos, a compreensão infantil passa por um salto, derivado da descoberta do símbolo. É o período em que está centrada em si mesma, tanto no aspecto da afetividade, quanto no conhecimento. De forma que, vive em um mundo de ausência de normas que só é superado aos quatro anos de idade, tornando mais associável, sendo capaz de aceitar as normas do mundo exterior.

    O egocentrismo deve ser entendido no aspecto intelectual, visto que não consegue transpor em pensamento a experiência de vida. Dos sete aos doze anos, que é o terceiro estágio, a lógica não é mais puramente intuitiva, mas passa a ser operatória, sendo que a criança é capaz de interiorizar ações de maneira concreta. A criança fica presa às experiências vividas, o pensamento é mais coerente de forma a permitir construções mais elaboradas. O egocentrismo diminui, de forma que o discurso lógico tende a ser mais objetivo, confrontado com a realidade e com outros discursos.

    A adolescência é o ultimo estágio, período em que aparecem as características, que farão parte da vida adulta. O pensamento lógico atingirá o estágio das operações abstratas, onde o adolescente será capaz de distanciar-se da experiência, de tal forma a pensar por hipóteses.

    O desprendimento da própria subjetividade é sinal que o egocentrismo intelectual está em processo de superação. Essa superação afetivamente se caracteriza pela cooperação e a reciprocidade. A faculdade de reflexão leva a sistematização autônoma das regras e a deliberação.

    A evolução das estruturas mentais segue uma construção equivalente aos estudos da lógica, ou seja, os progressos da inteligência em seus sucessivos estágios seguem uma ordem coerente, podendo ser retratada em suas diversas etapas.

    O desenvolvimento intelectual para Piaget, ocorre por meio de duas características inatas aos quais denomina-se: organização (construção de processos simples ) e adaptação (mudança contínua que ocorre no indivíduo na interação com o meio). Segundo Piaget, as crianças elaboram seu próprio conhecimento. Essa elaboração pode ser limitada a exata relação das mesmas com o seu ambiente. A partir dessa interação é que Paperte (1985), um dos companheiros de estudo de Piaget, propõe que a ação físico-mental do individuo, se dá através de condições para a construção do conhecimento.

    Unidade 2

    Pesquisadores piagetianos, dentre eles Inhelder (1963), analisaram que a construção do conhecimento comprovaram que a ordem dessa construção é a mesma, não havendo diferenças estruturais, desde que, sejam asseguradas condições externas de superação de seus limites.

    A construção do pensamento lógico matemático

    O conhecimento lógico matemático é uma construção e resultado da ação mental da criança sobre o mundo. E não é inerente ao objeto. Ele é concebido a partir das relações que a criança dispõe em sua prática de pensar o mundo, da mesma forma que o conhecimento físico é construído a partir das ações sobre os objetos (PIAGET, 1978).

    O número é um conceito do conhecimento lógico matemático, pois se caracteriza como uma operação mental e fundamenta-se das relações que não podem ser observáveis. O pensamento lógico matemático está fundamentado em construções mentais que se deve a diversos estados de abstração. O pensamento do sujeito para Piaget (1978) é construído com a participação considerável do grupo social que está inserido. Dessa forma, por meio de aquisições feitas a partir das relações sociais, o conceito de pensamento e as regras lógicas, excedem os limites da atividade individual, considera a colaboração e a participação entre os indivíduos. Os princípios lógicos são leis normativas necessárias às trocas interindividuais do pensamento, definidos por uma necessidade social, em objeção a desorganização das representações espontâneas do sujeito.

    Piaget (1978) analisou a gênese e evolução do pensamento lógico da criança ao adulto, com o objetivo de determinar o modo de sua construção. Ele buscava um esclarecimento estrutural das ações observadas nas crianças. Essa indagação forneceu um principio importante com respeito a estas ações: as atitudes do sujeito estão organizadas de maneiras distintas de acordo com as várias etapas do desenvolvimento. As formas de organização das atitudes do sujeito, de acordo com o autor, são a constituição de um conjunto que a partir, dessa ação “organizadora”, criam conceitos que passam a interagir uma totalidade coordenada e estruturada. Aparece então, a tarefa de especificar qual estrutura de conjunto que viabiliza obtenção cognitiva, característica de cada período de desenvolvimento da inteligência.

    Deste modo, para compreender o que uma criança pode ou não fazer em determinada etapa e construir a outra, é necessário à descoberta da estrutura do conjunto que está permeando.

    A partir dessa constatação, Piaget (1978), em suas pesquisas procurou expor como surge no sujeito, à elaboração das estruturas de conjunto, que são características, dos períodos operatórios do pensamento da criança utilizando-se, para uso da linguagem da lógica e da matemática. Essa lógica apresenta-se como uma formação intermediária entre lógica natural dos indivíduos e a lógica formal dos lógicos.

    Unidade 2

    Três estágios básicos são destacados por Piaget (1973), para melhor entendimento do processo evolutivo das estruturas cognitivas. Na criação dos primeiros esquemas de natureza lógico-matemática, as crianças se firmam em ações sensório-motoras sobre objetos materiais e através de repetições espontâneas, que chegam ao domínio e generalização da ação (estágio pré-operatório). O segundo período está caracterizado pelo aparecimento das operações, as ações em pensamento; a criança ainda depende dos objetos concretos nessa fase, para que as ações se constituam em conceitos (estágio operatório concreto). Por fim, atingem o estágio das operações sobre os objetos abstratos de forma que já não dependem mais de ações concretas ou de objetos concretos, é o estabelecimento do pensamento puramente abstrato ou formal.

    O conhecimento lógico matemático é resultado da ação direta das crianças sobre o objeto. Desta maneira, não pode ser ensinado por repetição ou verbalização. Quando Piaget (1973) propôs uma autoconstrução do conhecimento pela criança, estava sugerindo que existisse uma capacidade cognitiva genérica, de forma que sua aplicação seria aos diferentes tipos de percepções, seria autoinstaurada por estágios, da percepção sensório-motora para a espacial, para verbal concreta, para as abstrações da linguagem e para operações matemáticas.

    Provas Operatórias de Piaget

    As provas operatórias de Jean Piaget constituem-se de provas clássicas de experimentação em Psicologia genética e servem para acompanhar nas crianças as noções que são objetos de estudo da epistemologia (como a noção de tempo, espaço, conservação, causalidade, número, etc.). De forma que, a escola de Genebra tem buscado dar conta do nascimento da inteligência e do desenvolvimento das operações intelectuais.

    Através das provas podemos descrever o grau de aquisição de noções- chave de desenvolvimento cognitivo, dos quais os conteúdos levam em consideração cada uma delas de modo específico. Algumas provas referem-se à noção de conservação, referida aos aspectos numéricos, geométricos ou físicos, e outras propõe indagações sobre questões vinculadas às classes e as relações.

    O nível de construção alcançado pela criança, em cada grau de aquisição das noções mútua faz alusão, ao grau de estrutura operatória que subjazem em cada etapa do desenvolvimento. Através das provas de diagnóstico operatório é possível constatar o nível do pensamento atingido pela criança ou o nível de estrutura cognitiva com que o sujeito é capaz de operar em cada situação presente.

    Unidade 2

    As idades de obtenção das estruturas de pensamento, da mesma forma que os intervalos se classificam como as condições socioculturais, e mais especificamente com as escolares, as provas de diagnóstico operatório são situações experimentais bastantes elaboradas, que nos permitem descrever quais pensamentos da criança através do estudo do grau, até que ponto são assimilados ou não a essas noções em uma estrutura operatória, e se os julgamentos da criança resistem às argumentações contrárias que são formuladas.

    Basicamente são utilizadas as mesmas técnicas em todas as provas. É feito uma interrogação às crianças na presença de fenômenos observáveis e ou manipuláveis, apresentando como proposta fazer uma relação entre eles. O modo de subordinação está de acordo aos problemas específicos que são colocados, isso faz com que o desenvolvimento interrogatório, seja modificado conforme trate os problemas de natureza lógica ou de fenômenos físicos.

    Saiba mais

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    Para aumentar seus conhecimentos sobre as Provas Operatórias de Piaget, visite o site indicado.

    www.reeduc.com.br/mod/resource/view.php?id=465

    Veja abaixo o Quadro de Resumo das Provas Operatórias baseado em uma Proposta de Visca.

    Seis anos: seriação; conservação de pequenos conjuntos discretos de elementos.
    Sete anos: seriação; conservação de pequenos conjuntos discretos de elementos; conservação de matéria; conservação de superfície; conservação de líquido; mudança de critério, inclusão de classes, espaço unidimensional.
    Oito a nove anos: conservação de peso (se não conseguir, aplique a de matéria); conservação de comprimento; conservação de superfície; conservação de líquido; mudança de critério; quantificação da inclusão de classes; interseção de classes, espaço bidimensional. Espaço unidimensional; espaço bidimensional (9 anos).
    Dez a onze anos: conservação de volume, peso, interseção.

    O ensino da Matemática e as Competências para o Cotidiano

    3

    Conhecimentos

  • Conhecer os elementos essenciais do ensino da Matemática e os passos do professor, no processo de avaliação e a importância da comunicação matemática.
  • Habilidades

  • Identificar as propostas curriculares do Ensino Fundamental e Médio.
  • Atitudes

  • Trabalhar o desenvolvimento de capacidades como a resolução de problemas, o raciocínio, a comunicação e o pensamento crítico de atitudes e valores à autonomia e a cooperação.
  • Unidade 3

    Elementos essenciais ao ensino da Matemática

    A questão essencial do ensino da matemática é que o estudante seja capaz de repetir ou refazer, mas também, de ressignificar em situações novas, de adaptar, de transferir seus conhecimentos para resolver novos problemas (CHARNAY, 2001).

    Alguns educadores têm manifestado a necessidade de modificar profundamente as condições em que se processa a aprendizagem da matemática. Trata-se de uma transformação de mentalidades que tem implicado modificações de objetivos, ideias e métodos. Diversas alterações têm sido apontadas como necessárias para modificar este estado:

    • A utilização de uma gestão de sala de aula que contribua para que os estudantes construam o seu próprio conhecimento, o que significa que o professor deve deixar de ser o centro de interesse da turma. Deve permitir que os estudantes, comuniquem-se muito mais com os outros, que aprendam uns com os outros. Mas, simultaneamente, deve haver lugar para uma exploração individual quando tal for necessário. A questão central é que o estudante se torne um participante ativo em vez de receptor passivo.
    • A utilização de materiais que permita uma boa base para a formação de conceitos, o que implica na alteração da forma como a utilização de suportes materiais tem vindo a ser encarada. Ao dar aos estudantes a oportunidade de experimentar a matematização através da manipulação de materiais, não estamos apenas a fomentar uma atividade lúdica, mas estamos a criar situações que favorecem o desenvolvimento do pensamento abstrato. A formação de conceitos, pertence à essência da aprendizagem da matemática e ela tem de ser fundamentalmente experiencial. A aprendizagem é um processo de crescimento caracterizado por etapas distintas. Ela deve partir do concreto para o abstrato, com uma participação ativa do estudante e um período mais ou menos longo de contato informal, pois é necessário antes da formalização de um conceito.
    • A ligação da matemática ao real passa em formar pessoas que possuam uma cultura matemática que lhes permita aplicá-las a matemática nas suas atividades e na sua vida diária. O professor deve saber propor a execução de projetos de trabalho que utilizem conceitos matemáticos, ou saber “agarrar” as ideias que os estudantes proponham.
    • Uma abordagem da matemática voltada para a resolução de problemas defende que, ao invés de, um conhecimento factual e estático os estudantes passem a ter um conhecimento dinâmico, capaz de se adaptar a um mundo em mutação. (MATOS; SERRAZINA, 1996)

    Avaliação matemática

    A avaliação dos estudantes na disciplina de Matemática envolve interpretação, reflexão, informação e decisão sobre os processos de ensino e aprendizagem. A principal finalidade da avaliação é contribuir para a melhoria da formação dos estudantes (PONA; SOUSA; DIAS, 2005).

    Apontam-se passos a seguir pelo professor durante o processo de avaliação do conhecimento matemático dos estudantes:

    • Determinação dos conhecimentos do estudante a serem avaliados (conhecimento, capacidade de resolução de problemas, de raciocínio e de se comunicar matematicamente);
    • Especificação do conteúdo a ser avaliado (envolve a análise da extensão e profundidade do conhecimento);
    • Seleção das tarefas para avaliar os conhecimentos. (MATOS; SARRAZINA,1996).

    No desenvolvimento do processo de avaliação, algumas prévias devem ser respondidas pelo professor:

    Unidade 3

    • Como articular as atividades de avaliação com as restantes atividades desenvolvidas nas aulas, bem como, relacionar os conteúdos programáticos com as necessidades e especificidades dos estudantes?
    • Sendo a avaliação um processo continuo inerente ao próprio processo de ensino e aprendizagem, com que frequência se pode/deve proceder registros dessa avaliação? (PONA; SOUSA; DIAS, 2005).

    Antes de iniciar o processo de avaliação é essencial que o professor planeje. O planejamento é indissociável a prática da avaliação. Neste processo de planejar e avaliar, os primeiros elementos sobre os quais se devem buscar uma explicitação são os objetivos da prática docente, em termos de competências, habilidades e atitudes a se desenvolver e de conceitos e procedimentos a se construir. [...] A clareza dos objetivos de ensino auxilia, o trabalho de planejar, avaliar e replanejar a atividade docente, conduzindo o professor a uma maior compreensão do desenvolvimento da aprendizagem do estudante e da sua própria intervenção pedagógica. Tal procedimento, intenciona mapear a relação entre o ensino e a aprendizagem para o ajustamento do planejado, dos objetivos pretendidos, da intervenção docente em função das necessidades de aprendizagem dos educandos.

    O currículo do ensino da Matemática a partir dos Parâmetros Curriculares Nacionais

    A elaboração de um currículo envolve tanto a seleção de temas quanto à construção de experiências de aprendizagem para os estudantes. Enquanto que, a perspectiva tradicional de currículo está estreitamente associada às ideias de “documento oficial”, a perspectiva moderna dá cada vez mais importância ao professor como ator essencial na interpretação, elaboração e reformulação do currículo, adaptando-o às situações concretas.

    Um dos fatores fundamentais do desenvolvimento do currículo é a evolução da Matemática, chamando à atenção para novos temas e, ao mesmo tempo, permitindo um novo olhar sobre temas já conhecidos. Ele valoriza atualmente uma abordagem menos formalista, mais geométrica, rica em aplicações e em referências históricas e mais próximas das práticas matemáticas informais em curso na sociedade.

    As orientações curriculares atuais do ensino da disciplina sublinham também, a importância de trabalhar o desenvolvimento de capacidades como a resolução de problemas, o raciocínio, a comunicação e o pensamento crítico e de atitudes e valores como o gosto pela Matemática, à autonomia e a cooperação. Para atingir esses objetivos é necessário proporcionar aos estudantes experiências diversificadas, baseadas em tarefas matematicamente ricas, realizadas num ambiente de aprendizagem motivador. Tudo isto, implica alterações significativas tanto no papel do professor quanto no dos estudantes. (PONTE, 2006)

    As orientações curriculares apontam também para a necessidade de:

    • Definição de objetivos atendendo aos valores / atitudes, capacidades/aptidões e conhecimentos;
    • Existência de temas transversais;
    • Construção de conceitos a partir de situações concretas;
    • Abordagem de conceitos sob diferentes pontos de vista;
    • Abordagem de conceitos a partir de progressivos níveis de rigor e formalização;
    • Ligação da Matemática com a tecnologia;
    • Existência de interdisciplinaridade;

    Unidade 3

    • A diversificação das formas de recolha de dados para avaliação dos alunos;
    • Ligação da Matemática com a vida real. (FEVEREIRO; BELCHIOR, 1998).

    Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o 3º e 4º ano do Ensino Fundamental explicitam o papel da Matemática no ensino, propondo-se contribuir para a sua melhoria por duas formas:

    • Constituindo um referencial que orienta a prática escolar e dá possibilidade ao acesso a um conhecimento matemático, visando à inserção do estudante, como cidadão, no mundo do trabalho das relações;
    • Referenciar a formação de professores e orientar a elaboração de materiais didáticos.

    O documento aponta para diversas variáveis:

    • Valorização pelo estudante do papel da matemática, enquanto instrumento para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento que, estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
    • Desenvolvimento no estudante da autoconfiança em relação à capacidade de construir conhecimentos matemáticos, cultivar a autoestima, respeitar o trabalho dos colegas e ser perseverante na procura de soluções;
  • Seleção de conteúdos em função da sua relevância social e sua contribuição para o desenvolvimento intelectual do estudante;
  • Exploração dos conteúdos nas dimensões: conceito, procedimentos e atitudes tendo a resolução de problemas como ponto de partida do fazer matemática na sala de aula;
  • Apresentação dos objetivos em termos das capacidades a aperfeiçoar e dos conteúdos necessários para desenvolvê-las, destacando a história da matemática e das tecnologias da informação e comunicação para esse processo;
  • Apontar as possíveis conexões interdisciplinares, multidisciplinares e transversais;
  • Enquadrar a avaliação no processo de ensino aprendizagem, envolvendo as suas dimensões processuais e diagnósticas.
  • Para a concretização destes propósitos os Parâmetros Curriculares Nacionais propõem no 3º e 4º ciclo:

    • Incorporar o estudo dos recursos estatísticos denominados como “Tratamento de Informação”;
    • Privilegiar no estudo dos números e operações o desenvolvimento do sentido numérico e a compreensão dos diferentes significados das operações;

    Unidade 3

    • Apresentar a álgebra incorporada nos demais blocos de conteúdos, privilegiando o desenvolvimento do pensamento algébrico e não o exercício mecânico do cálculo;
    • Enfatizar a exploração do espaço, de suas representações e a articulação entre a geometria plana e espacial.

    No que diz respeito aos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio, eles propõem-se trabalhar para além do desenvolvimento de conhecimentos práticos, contextualizados, que respondam às necessidades da vida contemporânea, o desenvolvimento de conhecimentos mais amplos e abstratos, que correspondam a uma cultura geral e a uma visão de mundo.

    De acordo com esses critérios isto é, particularmente relevante, pois a crescente valorização do conhecimento e da capacidade de inovar, demanda cidadãos capazes de aprender continuamente, para o que é essencial mais do que um treinamento específico, uma formação geral.

    Apresentar a Matemática integrada com as Ciências e com as suas Tecnologias é para os PCN´s do Ensino Médio, um claro sinal do entendimento da necessidade de promoção da interdisciplinaridade, bem como da importância da obtenção e análise de informações, a avaliação de riscos e benefícios em processos tecnológicos para a cidadania e para a vida profissional.

    Um dos pontos de partida desse processo é considerar, como conteúdo do aprendizado matemático, científico e tecnológico, aspectos do cotidiano dos estudantes, da escola e de sua comunidade próxima. A partir daí, é necessário e possível transcender a prática imediata e desenvolver conhecimentos de alcance mais universal. A aprendizagem da Matemática e a construção do conhecimento matemático devem ser no Ensino Médio, mais do que memorizar resultados. O domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar matemático passa por um processo, cujo começo deve ser baseado na resolução de problemas de diversos tipos, com o objetivo de elaborar conjecturas, de estimular a busca de regularidades, a generalização de padrões, a capacidade de argumentação, elementos fundamentais para o processo de formalização do conhecimento matemático e para o desenvolvimento de habilidades essenciais à leitura, interpretação da realidade e de outras áreas do conhecimento. Todo esse processo deve ser centralizado na contextualização e em projetos interdisciplinares.

    A partir destas referências, os PCN´s apontam como objetivos do ensino de Matemática no Ensino Médio, levar o estudante a:

    • Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral;

    Unidade 3

    • Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;
    • Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente, sobre problemas não somente da Matemática, mas também das outras áreas do conhecimento e da atualidade;
    • Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;
    • Utilizar com confiança, procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
    • Expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;
    • Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e o conhecimento de outras áreas do currículo;
    • Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações;
    • Promover a realização pessoal, mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação.

    No domínio das competências e habilidades o documento propõe-se desenvolver nos estudantes a possibilidade de:

    • Comunicar;
    • Ler e interpretar textos de Matemática;
    • Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões etc);
    • Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa;
    • Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, quanto na linguagem matemática, usando a terminologia correta;
    • Produzir textos matemáticos adequados;
    • Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção e de comunicação;
    • Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho;
    • Investigar;
    • Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc);
    • Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema;

    Unidade 3

    • Formular hipóteses e prever resultados;
    • Selecionar estratégias de resolução de problemas;
    • Interpretar e criticar resultados numa situação concreta;
    • Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos;
    • Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades;
    • Discutir ideias e produzir argumentos convincentes;
    • Contextualizar social e culturalmente o conhecimento;
    • Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real;
    • Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas de conhecimento;
    • Relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da humanidade;
    • Utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações e potencialidades.

    A Comunicação Matemática

    A comunicação matemática é um aspecto importante do processo de ensino-aprendizagem. É através da comunicação oral e escrita, que os estudantes dão sentido ao conhecimento matemático que vai sendo construído. Esta comunicação desenvolve-se com base na utilização de diversos tipos de materiais, bem como de diferentes modos de trabalho e na gestão do espaço e do tempo realizada pelo professor.

    A comunicação inclui a leitura, a interpretação e a escrita de pequenos textos da matemática, sobre a matemática ou em que haja informação matemática. Na comunicação oral, são importantes as experiências de argumentação e de discussão em grande e pequeno grupo, assim como, a compreensão de pequenas exposições do professor. (MATOS, 2005).

    O ensino-aprendizagem da Matemática envolve como vimos interações dos estudantes entre si e entre os estudantes e o professor. Duas dessas formas de interação assumem um papel fundamental, a comunicação e a negociação de significados. A comunicação refere-se à interação dos diversos intervenientes na sala de aula, utilizando uma linguagem própria, que é um misto de linguagem corrente e de linguagem matemática. A negociação de significados respeita ao modo como estudantes e professores expõem uns aos outros o seu modo de encarar os conceitos e processos matemáticos, os aperfeiçoam e ajustam ao conhecimento matemático indicado pelo currículo.

    Unidade 3

    A comunicação é habitualmente analisada através do discurso dos diversos intervenientes. Na linguagem comum, discurso significa uma longa intervenção por parte de um orador, muitas vezes revestida de certa formalidade. No sentido técnico da linguística, discurso tem um significado muito diferente. Indica o modo como os significados são atribuídos e partilhados por interlocutores em situações concretas e contextualizadas. Envolve tanto o modo quanto as ideias são apresentadas como aquilo que elas veiculam implicitamente. Deste modo, o discurso pode ser oral, escrito ou gestual e existe necessariamente, sob uma ou outra forma, em toda a atividade de ensino-aprendizagem (PORTUGAL, 2005).

    A comunicação é um processo fundamental da atividade matemática em que estão envolvidos professor e estudante, no decorrer da aula. A comunicação é a essência do ensino e da aprendizagem da matemática escolar. A comunicação, pela sua natureza, assume um estatuto de transversalidade face a outros processos matemáticos, como a resolução de problemas (MENEZES, 2005).

    Nas aulas de Matemática, os intervenientes no discurso são o professor e os estudantes. De um modo geral, o discurso é controlado pelo professor, podendo este atribuir aos estudantes uma participação mais ou menos significativa. Por outro lado, os estudantes, nem sempre aceitam completamente o controle do seu discurso, procurando exprimir-se por meios próprios, por vezes, declarado conflito com as intenções do professor. (PORTUGAL, 2005)

    A natureza e o papel da comunicação na aula de Matemática são substancialmente diferentes, consoante às teorias de aprendizagem, que se adotam como instrumento de análise. Em uma aula de inspiração construtivista, os estudantes falam, o professor ouve. Essa aula adota uma pedagogia centrada no estudante, pois o professor assume o papel de ouvinte atento e também de questionador, tentando, desse modo, clarificar o pensamento do estudante. A aprendizagem é uma mudança individual de acordo com etapas de desenvolvimento, servindo a linguagem para a expressão do pensamento.

    Analisar o processo comunicativo da aula de Matemática requer instrumentos conceituais apropriados. Propõem-se quatro modos de comunicação matemática:

    Comunicação unidirecional - é associado ao ensino tradicional, dominando o professor o discurso da aula, apresentando os conceitos e explicando os modos de resolução dos exercícios. O papel dos estudantes é ouvir o professor falar, para depois reproduzir. Este modo de comunicação aproxima-se do monologismo.

    Comunicação contributiva - pressupõe a participação dos estudantes no discurso da aula, o que a distingue da modalidade anterior. Contudo, apesar da mudança quantitativa da intervenção, não existe uma alteração significativa da qualidade das interações, uma vez que, a participação dos estudantes se concretiza sob a forma de intervenções de baixo nível cognitivo.

    Unidade 3

    Comunicação reflexiva - a comunicação reflexiva pressupõe que aquilo que o professor e os estudantes fazem na aula, se torna subsequentemente um objeto explícito de discussão. Como o conhecimento matemático se encontra no discurso, nas suas mais variadas formas, esse discurso passa a ser objeto de reflexão. Esse modo de comunicação representa um avanço em relação aos anteriores, uma vez que o exercício do papel de validação do saber matemático se descentraliza e democratiza na aula.

    Comunicação instrutiva - de natureza diferente dos anteriores, uma vez que tem uma dimensão metacognitiva. A comunicação instrutiva “é aquela em que o curso da experiência da sala de aula é alterado como resultado da conversação” (BRENDEFUR; FRYKHOLM, 2000, p. 148).

    A comunicação oral tem um papel fundamental na aula de Matemática. Ela é imprescindível para que os estudantes possam exprimir as suas ideias e confrontá-las com as dos seus colegas. Ela é determinante para que os estudantes aprendam acerca da disciplina, quer sobre os conteúdos, quer sobre a própria natureza da Matemática.

    A condução do discurso na sala de aula é parte importante do papel do professor. Ele deve colocar questões e propor tarefas que facilitem, promovam e desafiem o pensamento de cada estudante. Para isso, o professor precisa saber ouvir com atenção as ideias dos estudantes e pedir-lhes que as clarifiquem e justifiquem, oralmente ou por escrito. Ele tem de gerir a participação dos estudantes na discussão e decidir quando e como encorajar cada estudante a participar. A condução do discurso impõe ao professor constantes decisões — o que deve ser aprofundado, quando se deve introduzir notações matemáticas e linguagens matemáticas quando deve fornecer informação, quando deve deixar os estudantes lutarem com uma dada dificuldade, etc.O professor pode tomar três atitudes:

    • Expor normalmente para introduzir novas palavras ou termos, novas maneiras de pensar, novas ideias, novas formas de trabalho. A exposição pode ser criticada quando se transforma na única forma de interação na sala de aula e o professor assume um controle excessivo que, conduz a dependência do aluno face às suas idéias e técnicas.
    • Questionar no sentido não tanto de tornar inteligível, mas sim, o de apontar caminhos, esboçar hipóteses, sugerir abordagens.
    • Conjecturar pela qual promove em sala de aula, um ambiente em que os alunos procuram tentar justificar o que foi dito por evidência ou argumento.

    Um ambiente de conjectura possibilita que os estudantes expressem seu pensamento quando estão inseguros e escutem os outros quando estão certos sobre um tópico, pois acreditam que podem justificar por evidência e argumento. Desse modo os estudantes são encorajados a investigar e terá que procurar confrontar o que foi dito com a experiência.

    A comunicação escrita proporciona uma oportunidade também importante de expressão das ideias matemáticas. Os registros efetuados no quadro e no caderno do estudante desempenham um papel estruturante, muitas vezes decisivo das atividades de aprendizagem. Na prática, a produção escrita por parte dos estudantes tende a ser muito limitada, reduzindo-se muitas vezes à realização de cálculos necessários à resolução de exercícios e problemas. No entanto, hoje reconhece-se que ela pode ter um papel mais importante no ensino da Matemática. Assim, começa a pedir-se cada vez mais aos estudantes para redigirem relatórios ou ensaios explicando e justificando os seus raciocínios. (PORTUGAL, 2005).

    Explicando melhor com a pesquisa

    Sugerimos a leitura do artigo “ A internet como sala de aula: a autonomia de alunos da 1ª série do ensino médio na aprendizagem de matemática”. É uma pesquisa qualitativa com o objetivo de compreender e avaliar a questão da autonomia dos estudantes na construção do conhecimento, envolvendo atividades de pesquisa na internet. Os participantes da pesquisa foram estudantes de duas turmas da 1ª séria do ensino médio de uma escola da rede pública do município de Gravataí no Rio Grande do Sul. A escolha do uso da internet com espaço de pesquisa se deve ao fato de que a informática encontra-se cada vez mais presente no cotidiano dos estudantes, possibilitando o acesso a todo o tipo de informação.

    Propomos também a leitura do artigo Matemática Lúdica no Ensino Fundamental e Médio. Ele trata do ensino da matemática de forma lúdica. Quando crianças ou jovens brincam, demonstram prazer e alegria em aprender. Eles têm oportunidade de lidar com suas energias em busca da satisfação de seus desejos. E a curiosidade que os move para participar da brincadeira é, em certo sentido, a mesma que move os cientistas em suas pesquisas. Dessa forma, é desejável buscar conciliar a alegria da brincadeira com a aprendizagem escolar.

    Leitura Obrigatória

    Indicamos a leitura dos Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. A Matemática sempre foi para os estudantes, algo que foge à sua possibilidade de compreensão, de pouca utilidade prática, gerando representações e sentimentos que afastarão o estudante do conhecimento matemático. Para minimizar essa situação, os PCN’s de Matemática, norteia o educador sobre o que é possível fazer para sanar os problemas que dificultam a aprendizagem dos estudantes. Cabe ao professor, identificar os estudantes que já estão munidos de uma bagagem razoável de conhecimentos lógicos e matemáticos. Isso só facilitará o processo. Ele ajuda o professor a diagnosticar o domínio que cada estudante tem sobre os conteúdos a serem abordados, além de identificar quais são suas possibilidades e dificuldades diante da aprendizagem desses conteúdos.

    Guia de Estudo

    Após a leitura, faça um texto identificando qual a preocupação dos PCN’s para o ensino da matemática.

    Pesquisando com a Internet

    Prezado (a) estudante, você é convidado (a) a buscar na Internet uma investigação referente o assunto estudado nesta disciplina. Para ampliar seus conhecimentos, faça uma pesquisa norteada pela seguinte pergunta: quais as tendências pedagógicas para a Educação Matemática?

    Guia de Estudo

    Após a pesquisa, elabore um texto resumindo suas principais descobertas. Comente com seus colegas na sala virtual.

    Saiba Mais

    Sugerimos que leia a entrevista “A matemática além dos números” de Gérard Vergnaud (1933), que é um matemático, filósofo e psicólogo francês. Formado em Genebra, compôs o segundo conjunto de pesquisadores doutorados por Jean Piaget. Professor emérito do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS), em Paris. Vergnaud é pesquisador em didática da matemática, tendo elaborado a "teoria dos campos conceituais". Nessa entrevista Gérard vem tratar da didática da Matemática.

    Vendo com os olhos de ver

    Para enriquecer seu aprendizado, sugerimos que assista ao filme A Corrente do Bem. Eugene Simonet (Kevin Spacey), um professor de Estudos Sociais, faz um desafio aos seus estudantes em uma de suas aulas: que eles criem algo que possa mudar o mundo. Trevor McKinney (Haley Joel Osment), um de seus estudantes e incentivado pelo desafio do professor, cria um novo jogo, chamado “pay it forward”, em que a cada favor que recebe você retribui a três outras pessoas. Surpreendentemente, a ideia funciona, ajudando o próprio Eugene a se desvencilhar de segredos do passado e também a mãe de Trevor, Arlene (Helen Hunt), a encontrar um novo sentido em sua vida.

    Propomos também ao filme Uma mente brilhante que retrata a vida real de John Nash (Russell Crowe), um gênio da matemática que, aos 21 anos, formulou um teorema que provou sua genialidade e o tornou aclamado no meio onde atuava. Criou sua fórmula ao se opor ao conceito clássico de Adam Smith a respeito da competição (entendida como forma de estímulo para o avanço rumo a um objetivo, a uma lucratividade). Nash elaborou um conceito em que o essencial seria a colaboração do grupo para que todos conseguissem chegar a algum lugar, a certo objetivo, a um lucro final. Mas aos poucos o belo e arrogante John Nash se transforma em um sofrido e atormentado homem, que chega até mesmo a ser diagnosticado como esquizofrênico pelos médicos que o tratam. Em meio a fórmulas e teorias, após anos de luta para se recuperar, ele consegue retornar à sociedade e acaba sendo premiado com o Nobel.

    Para amenizar sua dor e demonstrar seu arrependimento, Mendonza se torna padre e se une a ordem dos Jesuítas a luta em defesa dos índios, mas se choca ao perceber mais interesses econômicos do que a fé.

    Guia de Estudo

    Após assistir aos filmes, escolha um e elabore uma resenha crítica e comente com seus colegas.

    Revisando

    A primeira unidade desta disciplina inicia com o processo evolutivo da ciência Matemática, de forma que vem abordar sua origem, dos tempos primórdios ao século XX, bem como sua aplicação no ensino básico atual brasileiro. Abordamos a formação do professor para o ensino da Matemática, bem como, as tendências mais atuais para a didática, pois o ensino tradicional a partir das tendências pedagógicas não poderia ser o mesmo, visto que essas tendências vieram propor novas formas para o ensino da matemática. São cinco modelos de tendências pedagógicas: Etnomatemática, História da Matemática, Matemática Crítica, Modelagem Matemática e Resolução de Problemas.

    Na segunda unidade de estudo foi apresentado as teorias de Piaget sobre a origem do conhecimento lógico-matemático. Jean Piaget, um estudioso sobre a origem do conhecimento, propôs a teoria epistemológica genética, além de propor os quatro estágios do desenvolvimento que são: sensório-motor, intuitivo ou simbólico, operatório concreto e operatório formal.

    A Matemática está inserida no dia a dia, portanto, seu ensino deve ir além dos muros da escola. Na terceira unidade de estudo vem propor as formas didáticas de seu ensino para as situações cotidianas, propostas nos PCN’s de Matemática, que são orientações do Ministério da Educação para o ensino da Matemática do Ensino Fundamental ao Médio.

    Autoavaliação

    1. A partir da definição Etimológica da palavra Matemática, qual o seu significado?
    2. Atualmente qual é a formação do professor de Matemática?
    3. Como era o modelo adotado na década de 30 dos cursos de licenciatura?
    4. Defina Etnomatemática.
    5. Discorra sobre a teoria cognitiva proposta por Piaget.
    6. O que são as provas operatórias de Piaget?
    7. Quais os elementos essenciais para um bom ensino da Matemática?
    8. Quais os tipos de avaliação em Matemática?
    9. Discorra sobre o currículo de ensino da Matemática a partir dos Parâmetros Curriculares Nacionais.
    1. Que tratamento recebiam as crianças indígenas e africanas no Brasil Colonial?
    2. Como decorreu a construção das políticas em defesa das crianças no Brasil?

    Bibliografia

    ABRANTES, Paulo, SERRAZINA, Lurdes, OLIVEIRA, Isolina. Metodologia do Ensino de Matemática. Lisboa: Ministério da Educação. Departamento da Educação Básica, 1999.

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    BOYER, Carl B. História da matemática - São Paulo. 2° edição, 2003

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    BRITO, Antonia Edna. Formar Professores: rediscutindo o trabalho e os saberes docentes IN MEDES SOBRINHO, José Augusto de Carvalho e CARVALHO, Marlene Araújo. FORMAÇÃO DE PROFESSORES E PRÁTICAS DOCENTES: olhares contemporâneos. Belo Horizonte, Autêntica. 2006.

    CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da matemática. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2004.

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    SEBASTIANI, Eduardo Ferreira. Etnomatemática: uma proposta metodológica. Universidade Santa Úrsula. Rio de Janeiro, 1997

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    Vídeos

    A Corrente do Bem. Dirigido por Mimi Leder. Gênero: Comédia Dramática, Romance. USA, 2000

    Uma Mente Brilhante. Dirigido por Ron Howard. Gênero: Drama. USA, 2001

    Créditos

    Diretor Presidente das Faculdades INTA

    • Dr. Oscar Rodrigues Júnior

    Pró-Diretor de Inovação Pedagógica

    • Prof. PHD Doutor João José Saraiva da Fonseca

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    Professores conteudista

    • João José Saraiva da Fonseca
    • Osvaldo Neto Sousa Costa

    Assessoria Pedagógica

    • Sonia Henrique Pereira da Fonseca
    • Evaneide Dourado Martins
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    Revisora de Português

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    Diagramador

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