Nivelamento em Matemática
Nivelamento em Matemática

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Lista de Vídeos de Nivelamento em Matemática

Apresentação

Todos nós já fizemos ou já ouvimos perguntas do tipo:

Porque eu preciso estudar Matemática? Qual é a importância da Matemática na minha vida?

A Matemática está presente em muitas situações no nosso dia a dia. Usamos os conceitos matemáticos de forma intuitiva. Um exemplo simples é quando vamos a uma loja ou fazemos uma compra e o vendedor dá um desconto ou um acréscimo na compra. Ou quando nos questionamos

  • Quanto vou gastar abastecendo o carro essa semana?
  • Será que tenho dinheiro suficiente para comprar aquele presente?
  • Conhecimentos formais de matemática podem ajudar a lidar com essas situações que nos deparamos comumente. Apesar de parecerem, à primeira vista ser fácil de resolver, esses problemas, nem sempre têm fácil resolução por intermédio de cálculo mental e nos obriga a recorrer a realização de cálculos matemáticos.

    Esse material tem o objetivo de apresentar uma proposta de estudo da matemática que irá subsidiar disciplinas posteriores, em que a matemática surge como uma vertente importante.

    O Nivelamento de Matemática oportuniza uma revisão objetiva de conteúdos de Matemática da Educação Básica para que os estudantes possam desenvolver as habilidades básicas na área de conhecimento, permitindo atender às necessidades expressas nos objetivos de aprendizagem interdisciplinar.

    Autores

    João José Saraiva da Fonseca. Pós-Doutor em Educação pela Universidade de Aveiro em Portugal, Doutor em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (2008), Mestre em Ciências da Educação pela Universidade Católica Portuguesa - Lisboa (1999) (validado no Brasil pela Universidade Federal do Ceará), Especialista em Educação Multicultural pela Universidade Católica Portuguesa - Lisboa (1994). Graduou-se em Ensino de Matemática e Ciências pela Escola Superior de Educação de Lisboa (validado no Brasil pela Universidade Estadual do Ceará). É pesquisador na área da produção de conteúdo para educação a distância. Atualmente desempenha a função de Pró-Diretor de Inovação Pedagógica das Faculdades INTA.

    Paulo Rubens Barreto Silva, Especialista em Ensino da Matemática (UECE), Graduado em Matemática (UECE). Curso Capri- Geometria (UFC) e Curso de Ensino da Matemática (UFP).

    Operações Matemáticas

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 1

    Operações Matemáticas

    Nessa unidade propomos que você aprenda como fazer as principais operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação e divisão), pois em matemática, a operação é qualquer tipo de procedimento realizado sobre certa quantidade de elementos, obedecendo sempre a uma mesma regra básica, condição essencial para a obtenção do resultado correto.

    +

    -

    Adição e subtração de números inteiros

    A adição e a subtração são bases de toda a matemática. Neste momento você devera aprender a realizar as operações matemáticas de adição e subtração. Para isso organizamos um conjunto de informações, oriundo de bancos de recursos informacionais abertos, envolvendo texto, vídeo e calculadora. Além disso, disponibilizamos exercícios para resolver e testar os seus conhecimentos.

    x

    ÷

    Multiplicação e divisão de números inteiros

    Na multiplicação e divisão de números inteiros, devem ser seguidas algumas condições que se apresentam, com a ajuda dos recursos educacionais oportunizados pelas entidades já usadas na abordagem da adição e multiplicação. Além disso, disponibilizamos calculadoras para facilitar os seus cálculos.

    Autoavaliação

    1. Se a turma tiver 15 homens e 20 mulheres, para calcular o número total de pessoas terá:
      1. 55
      2. 30
      3. 35
      4. 52
    2. Comprei 20 livros e depois comprei mais 13. Quantos livros comprei ao todo?
    3. Ao pagar R$ 400,00, liquidei uma dívida de R$ 1000,00. Quanto já havia pago dessa dívida?
    4. Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras pelos filhos. Quantas rosas mandaram os filhos?
    5. Uma pessoa deposita R$ 600,00 num banco e, nos 4 meses seguintes, R$ 500,00 a mais que no mês anterior. Quanto depositou ao todo?
    6. Quantos anos decorreram desde do descobrimento do Brasil até a proclamação da República?



    1. Numa escola são ministrados cursos de 4 séries, em 15 classes de cada série. Essas classes são orientadas por 20 psicólogas. Quantas classes orienta cada uma das psicólogas?
    2. A secretaria da saúde dispõe de 80000 doses de vacina para distribuir igualmente a 8 municípios. Secada município dispõe de 4 postos de saúde, quantas doses de vacina receberá cada posto?

    Unidade 1


    Quatro Operações Fundamentais

    Unidade 1


    Operações com números decimais

    Regra de Três

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 2

    Regra de três

    Você usa a regra de três diariamente, sem perceber, para descobrir incógnitas através de outros valores já conhecidos. Se você pensa que a Regra de Três não é muito usada, analise a situação a seguir e certamente mudará de opinião.

    Uma revista custa 5 reais. Quanto custarão 5 revistas?

    Quando nos deparamos esse tipo de problema, sem percebermos aplicamos regra de três. É através dela, que resolvemos problemas com quatro valores, dos quais conhecemos apenas três, determinando um valor a partir dos três já conhecidos.

    Vamos exemplificar:

    1 revista = 5 reais.

    5 revistas = valor desconhecido

    Esse valor desconhecido atribuímos a letra x, na matemática chamado de incógnita.

    Muito utilizada na matemática, como também em outras disciplinas, a regra de três é o processo destinado a resolver problemas que envolvam grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, os quais podemos resolver com regra de três simples ou composta.

    Regra de três Simples

    A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles.Vejamos os passos usados numa regra de três simples:

  • Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua grandeza;

  • Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
  • Grandezas diretamente proporcionais

    Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento em uma delas provoca o aumento na outra ou a diminuição em uma delas provoca uma diminuição na outra.

    Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é multiplicado por esse mesmo número positivo.

    Vamos ao exemplo:

    Quantidade de batatas Preço

    Quanto mais batatas você comprar, maior é o preço que você paga por elas. A grandeza quantidade de batatas e a grandeza preços) são diretamente proporcionais. Logo se observa que ao aumento em uma, provoca o aumento em outra.

    Quantidade de batatas Preço

    Se você comprar pouca batata você vai pagar preço menor. A diminuição em uma grandeza está provocando a diminuição na outra, por isso elas são proporcionais.

    Incógnita: é uma variável cujo valor deve ser determinado de forma a resolver uma equação ou inequação. Normalmente, é representada pelas letras x, y e z.

    Unidade 2

    Grandezas inversamente proporcionais.

    Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo. O mesmo é dizer que duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento em uma delas provoca a diminuição na outra e vice-versa.

    Velocidade Tempo

    Se você dirige um carro com uma velocidade alta, menor é o tempo para você chegar ao local de destino.

    Velocidade Tempo

    Quanto menor a velocidade maior será o tempo para chegar ao local de destino.

    Exercícios resolvidos

    Apresentamos como um exemplo, uma situação do dia a dia envolvendo grandezas que são diretamente proporcionais:

    Exemplo 1:

    Duas maçãs custam 10 reais. Quanto custam 8 maçãs?

    Podemos perceber que quanto mais maçãs maior vai ser o preço. Temos duas grandezas diretamente proporcionais.

    Preço Quantidade
    10 2
    x 8

    10x=28 , então 2x = 10 . 8; 2x = 80; x= 802 ; x = 40

    Forma simplificada

    Duas maçãs custam 10 reais. Quanto custam 8 maçãs?

    Preço Quantidade de maçãs
    10 2
    x 8

    Sabemos que duas maçãs custam 10 reais e queremos saber quanto custa 8 maças? Basta cruzar para realizar a operação ou você poderá usar um método mais simples.

    Quem está oposto ao x é o 2 então o 2 fica embaixo quem não está oposto o número 10, 8 , portanto você multiplica 10 por 8:

    x = 80 2 = x = 40

    Unidade 2

    Exemplo 2:

    Um carro com velocidade de 30 km/h faz um percurso em duas horas. Se a velocidade dobrar, em quanto tempo ele fará o mesmo percurso?

    Velocidade (km/h) Tempo (h)
    30 2
    60 x

    São grandezas inversamente proporcionais, porque quanto mais rápido você é menos tempo você chega a certo lugar, se você diminuir a velocidade você vai levar muito tempo para chegar a certo lugar, isso é representado com uma seta para cima e outra para baixo.

    30 60 = x 2 , então x= 60 60 ; x = 1h

    Problemas envolvendo torneiras

    Uma torneira despeja 50 litros de água em 10 minutos. Quantos litros serão despejados por essa torneira em 30 minutos?

    Solução: Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

    Litros Minutos
    50 10
    x 30

    As grandezas litros e minutos são diretamente proporcionais visto que, quanto mais tempo for utilizado, mais litros de água serão despejados. Logo, a equação descrita será obtida multiplicando-se os valores em X:

    10.x = 50.30
    10x = 1500
    x = 150
    Resposta: 150 litros

    Apresentamos outra situação do dia a dia, agora como exemplo de grandezas inversamente proporcionais:

    Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão?

    Solução: Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

    Unidade 2

    Velocidade (km/h) Tempo (minutos)
    8 50
    16 x

    As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais visto que, quanto maior for a sua velocidade, menor será o tempo que ele conseguirá concluir o seu percurso. Logo, a equação descrita será obtida multiplicando-se os valores em linha:

    16.x = 8.50
    16x = 400
    x = 25

    Resposta: 25 minutos.

    Regra de três composta

    Conceito ampliado da regra de três que, a partir de um conjunto relacionado de grandezas, diretamente e/ou inversamente proporcionais, é possível determinar o valor de uma incógnita.

    Uma regra de três é classificada como composta quando apresentar três ou mais grandezas. Vejamos os passos utilizados numa regra de três composta:

    • Identificar a incógnita;
    • Identificar as grandezas (inversamente ou diretamente proporcionais);
    • Inverta as grandezas que são inversamente proporcionais à incógnita e proceder com o cálculo normalmente.
    • Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua respectiva grandeza. Começaremos colocando os valores na última linha da tabela e, em seguida, na linha acima.
    • Isolar a grandeza cujo valor é desconhecido. As grandezas que não forem destacadas serão relacionadas, uma de cada vez, com a grandeza que foi destacada para determinar se estas duas são diretamente ou inversamente proporcionais. Caso seja diretamente proporcional, colocaremos um d sobre esta grandeza não destacada; caso contrário, sendo inversamente proporcional, colocaremos uma letra i sobre esta grandeza não destacada;
    • Montar a equação da seguinte maneira: o valor desconhecido da grandeza destacada será igual ao valor conhecido da grandeza destacada que multiplica as frações das grandezas não destacadas da seguinte maneira: se a grandeza tiver a letra d acima, é só repetir a fração e, caso contrário, tiver a letra i, inverte-se a fração.
    • Resolver a equação.

    Unidade 2

    Exercícios resolvidos

    Apresentamos como um exemplo, uma situação do dia a dia envolvendo a regra de três composta:

    Exemplo 1:

    Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias.

    Solução: Vamos construir uma tabela, relacionando cada valor a sua respectiva grandeza, começando pela última linha e, em seguida, na linha acima.

    Regra de três - exemplo (Foto: Colégio Qi)

    i d i
    nº de pedreiros nº de barracões tempo(dias) horas/dia
    18 10 20 x
    12 5 30 6

    As grandezas número de pedreiros e horas/dia são inversamente proporcionais.
    As grandezas número de barracões e horas/ dia são diretamente proporcionais.
    As grandezas tempo (dias) e horas/dia são inversamente proporcionais.
    Logo, temos que:

    x= 6 x 12/18 x 10 / 5 x 30 / 20
    x = 12

    Resposta: 12 horas/dia

    Exemplo 2:

    Vinte operários constroem um muro em 45 dias trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia?

    Vamos identificar as grandezas:

    Operários
    Muro
    Dia
    Horas/dia
    20 1 45 6
    x 13 15 8

    Vamos comparar a grandeza com a grandeza que possui a variável, no caso a grandeza dos operários.

    Unidade 2

    Começamos fazer as seguintes questionamentos:

    1

    Se aumentar o número de operários eles conseguem fazer mais muros? Sim, então seta para cima.

    2

    Se aumentar a quantidade de números de operários eles conseguem fazer o muro em mais ou menos dias? Em menos dias, então seta para baixo.

    3

    Se aumentar a quantidade de operários vamos fazer o muro em mais horas ou menos horas? Menos horas, então seta para baixo.

    Podemos observar que temos duas grandezas diretamente proporcionais e duas grandezas inversamente proporcionais. Então vamos inverter as grandezas inversamente proporcionais.

    Vamos ao cálculo:

    20 x = 20 1 3 . 15 45 . 8 6

    20 x = 3 . 15 45 . 8 6

    20 x = 4 3

    5 x = 1 3 O oposto de x é 1 e multiplica 3 x 5 = 15, então x = 15 operários.

    A regra de três é comum em problemas do cotidiano, do ensino fundamental e médio, em concursos, ENEM e vestibulares.

    Passo-a-passo para resolver problemas envolvendo regra de três simples e composta.

    Calculadoras

    O trabalho com a Regra Composta pode ser simplificado com o recurso destas calculadoras quer esteja usando no seu computador, smartphone e tablet.

    Calculadora no computador na situação em que estejamos trabalhando com três grandezas:

    http://www.gyplan.com/pt/compound_rule3_pt.html
    App de calculadora no smartphone e tablet IOS.

    Recursos em vídeo

    Propomos que assistam ao vídeo produção pela Fundação Roberto Marinho para o Telecurso para compreender melhor o conceito de proporção inversa:
    Proporção inversa - Matemática do Ensino Fundamental
    Regra de três - Matemática do Ensino Fundamental

    O material Matemática Básica, produzido pela Universidade Federal de Santa Catarina irá ajudar na compreensão do conceito de proporção. Essa apostila aborda conteúdos matemáticos que poderão ser úteis para o estudo de vários conceitos.

    Autoavaliação

    1. Três caminhões transportam 200m3 de areia. Para transportar 1600m3 de areia, quantos caminhões iguais a esse seriam necessários?
    2. A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos?
    3. Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média?
    4. Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus?
    5. Em uma fábrica de cerveja, 34 funcionários trabalhando 7 horas por dia carregando 20 vans de transporte cada uma com 300 caixas de leite em pó. Para carregar 35 dessas mesmas vans com 400 caixas do mesmo leite, 28 funcionários irão precisar trabalhar durante:
      1. 7 h                                 c. 5 h
      2. 6 h e 48 min                d. 12 h

    Regra de Três Simples

    Regra de Três Composta

    Dízimas Periódicas Simples e Compostas

    Lógica

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 3

    Lógica

    A Lógica, do grego, “logos” significa palavra, pensamento, ideia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico. É uma ciência de índole matemática ligada também à filosofia.

    A história da Lógica começa com os trabalhos de Aristóteles, filósofo grego (384-322 a.C.). Para Aristóteles a Lógica se liga ao cálculo proposicional. ”Proposições” são sentenças declarativas afirmativas ou negativas. Por exemplo: “Todos os animais são mortais” é afirmativa; “Nenhum animal é imortal” é negativa. Ainda na antiguidade grega, temos a Lógica da escola dos estoicos e megáricos (Euclides de Megara-400 a.C.), que se apresenta de modo diferente da aristotélica, pois se liga ao cálculo de predicados (que são os quantificadores).

    A Lógica moderna inicia-se com George Boole (1815-1864) e De Morgan (1806-1871) quem formulou as leis que recebem seu nome e foi o primeiro a introduzir o termo e tornar rigorosa a ideia de Indução matemática. Depois destes veio G. Frege (1848-1925), considerado o “maior lógico dos tempos modernos”, Russel e Whitehead, como também Hilbert, Godel e Tarski. A lógica silogística aristotélica tradicional e a lógica simbólica moderna são exemplos de lógicas formais.

    A lógica formal, também chamada de lógica simbólica, preocupa–se com a estrutura do raciocínio. A lógica informal (ou cotidiana) estuda os aspectos da argumentação válida que não depende exclusivamente da lógica formal.

    A lógica matemática é uma subárea da matemática que usa a lógica formal para estudar o raciocínio matemático, ou seja, explora as aplicações da lógica para as questões matemáticas

    Para melhor entendimento da unidade, recomendamos que vocês assistam aos vídeos propostos. Estes poderão ajudar a compreender à lógica e reforçar a ideia da interseção entre a matemática e a filosofia no âmbito dessa temática.

    Aristóteles e a Lógica: trecho do quadro do Fantástico com a filósofa Viviane Mosé.

    Filosofia - Aula 02: Telecurso

    O Projeto M3 - matemática Multimídia da Unicamp produziu três vídeos em que a temática da Lógica é abordada associada às personagens do livro Alice no País das Maravilhas. Vamos visualizar:

    A Lógica de Alice

    Lógica - A Revanche de Alice

    Lógica - Alice, os Paradoxos e a Formalização

    Para praticarmos os nossos conhecimentos em lógica, alguns sites disponibilizam jogos que desenvolvem o raciocínio. Entre eles podemos citar:

    A Universidade Federal do Recôncavo na Bahia, disponibiliza uma apostila de nivelamento em matemática (inserir link abaixo), um recurso que certamente ajudará à compreensão da temática lógica matemática. O material aborda a Lógica matemática entre as páginas 6 e 20, e nas demais páginas você encontra outras temáticas que poderão subsidiar seu estudo se tiver.

    Autoavaliação

    1. Qual das cinco representa a melhor comparação?
      "Água está para o gelo assim como leite está para...".
      1. Mel
      2. Mingau
      3. Café
      4. Queijo
      5. Biscoito
    2. As letras "ECHOOL" depois de colocadas em ordem, será o nome de...
      1. Um oceano
      2. UM país
      3. Uma cidade
      4. Um animal
      5. Um estado
    3. Para que a frase abaixo, depois de arrumada, faça sentido, que palavra deve ser retirada?
      "A roupa tempestade roeu o rato".
      1. Tempestade
      2. Rato
      3. Roeu
      4. Roupa
      5. Os artigos
    1. Depois de doar um quarto de sua mesada ao irmão, e ganhar mais cinco reais, ele ficou com 20 reais. Qual era o valor de sua mesada?
      1. 10 reais
      2. 30 reais
      3. 20 reais
      4. 35 reais
      5. 25 reais
    2. Qual dos cinco itens representa a melhor comparação?
      "Árvore está para o chão assim como chaminé está para...".
      1. Fumaça
      2. Tijolo
      3. Garagem
      4. Céu
      5. Casa

    Raiz Quadrada

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 4

    Raiz Quadrada

    Em matemática, uma raiz quadrada de um número x é um número que, quando multiplicado por si próprio, iguala a x. Por definição, a raiz quadrada de um número nunca terá um valor negativo.

    Recursos em vídeos

    Propomos que assistam aos vídeos abaixo produzidos pela Fundação Khan e Fundação Roberto Marinho para a Telescola, para relembrar os números irracionais.

    O Telecurso apresentou o vídeo “Números irracionais e raiz quadrada” em que são abordados os principais conceitos referentes à Raiz Quadrada

    A Fundação Khan produziu um conjunto de materiais específicos sobre a raiz quadrada

    Calculadora

    O cálculo da raiz quadrada fica fácil usando uma calculadora, quer esteja usando o seu computador, smartphone e tablet. App de calculadora no smartphone e tablet IOS.

    Calculadora no computador

    Autoavaliação

    1. Determine as raízes:
      1. 4=
      2. 25=
      3. 0=
      4. -25=
      5. 81=
      6. -81=
      7. 36=
      8. -1=
      9. 400=
      10. -121=
    1. Calcule:
      1. 25+16=
      2. 9-49=
      3. 1+0=
      4. 100-81+4=
      5. -36+121+9=
      6. 144+169-81=

              k.  169=

              l.  -900=

    1. Calcule caso exista em Z:
      1. 4=
      2. -169=
      3. -4=
      4. 64=
      5. -64=
      6. -64=
      7. -100=
      8. -100=

    Teoria dos Conjuntos

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 5

    Teoria dos conjuntos

    A Teoria dos conjuntos é a teoria matemática dedicada ao estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade.

    Recursos em vídeo

    Propomos que assistam ao vídeo do Projeto M3 - matemática Multimídia da Unicamp: “Teoria dos Conjuntos - Conclusões Precipitadas”, para aprofundar o conhecimento sobre a temática. O vídeo “A razão dos irracionais” foi produzido pela Unicamp e procura apresentar os números irracionais.

    A razão dos irracionais

    Propomos que assistam aos vídeos abaixo produzidos Fundação Khan.

    Conjunto Básico de Operações

    Recursos em apostila

    As apostilas elaboradas pela Universidade de Minas Gerais e pela Universidade Estadual Paulista, subsidiam o estudo sobre a temática.

    O material didático usado na disciplina “Teoria dos Conjuntos” proposta pelo Universidade de Minas Gerais, apresenta os conceitos básicos de maneira intuitiva.

    Teoria dos Conjuntos

    No Capítulo 8 “Teoria Informal dos Conjuntos” da Apostila proposta pela Universidade Estadual Paulista, poderá encontrar referências para a compreensão do tema em estudo.

    Teoria Informal dos Conjuntos

    Autoavaliação

    1. Sendo A = { 3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine:
      1. A∪B
      2. A∩B
    2. Escreva com símbolos:
      1. 4 pertence ao conjunto dos números naturais pares.
      2. 9 não pertence ao conjunto dos números primos.
    3. Escreva o conjunto expresso pela propriedade:
      1. x é um conjunto natural menor que 8.
      2. x é um número natural múltiplo de 5 e menor que 31.
    4. Dados os conjuntos A = {1, 2 }, B = {1, 2, 3, 4, 5 }, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
      1. A Ì B         c.  B Ì D         e. A Ì D
      2. C Ì A         d.  D Ì B         f. B Ì C

    Unidade 5



    Interseção e união

    Notação Científica

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 6

    Notação Científica

    Nos vários ramos da ciência, números muito grandes ou muito pequenos são comuns. Para facilitar a escrita e a compreensão desses números foi criada uma padronização chamada de Notação Científica. O uso desta notação está baseado nas potências de 10

    Por exemplo, é mais fácil você escrever 6,02 x 10 23 do que 602000000000000

    Outro exemplo de número demasiado grande: 100000000000

    Em notação científica ficaria: 1 × 1011

    Exemplo de número demasiado pequeno: 0,00000000001

    Em notação científica ficaria: 1 × 10−11

    Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo:
    m x 10e

    O número m é denominado mantissa e a ordem de grandeza. A mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente, é o número que mais varia conforme o valor absoluto.

    Regras

    A notação é um número do tipo A * 10 elevado a b onde:

    A (Mantissa) é um número real pertencente ao intervalo 1 ≤ a < 10.

    B (Ordem de grandeza) é um número inteiro tanto positivo como negativo.

    Para termos uma notação científica, há algumas regras a seguir. A notação é um número do tipo A x 10 elevado a b onde:

    O valor absoluto de A (ignorando o sinal) deve ser no mínimo o número 1 e sempre menor que 10.

    Exemplos de Notações Científicas corretas:

    2,3 x 106

    9,7 x 10-12

    -1,7 x 10-21

    Exemplo de Notações Científicas incorretas:

    14,3 x 105 Errado, o correto é 1,43 x 106

    10 x 107 Errado, o correto é 1.108

    Transformações de Notação Científica

    Para a transformação, precisamos observar o deslocamento da vírgula. Levando – se em consideração:

    Vírgula para esquerda: expoente positivo. Ex:

    5432, = 5,432 x 10 3

    A vírgula andou 3 casas para a esquerda, por isso o expoente fica positivo.

    Vírgula para direita: expoente negativo.

    0,0000437 = 4,37 x 10 -5

    Essa expressão está entre o intervalo de 1 a 10. Como a vírgula andou 5 casas para a direita o expoente fica negativo.

    Unidade 6

    Representações com potência de dez

    Todo número pode ser escrito através de um produto por uma potência de dez.

    Exemplo:

    4 = 4 x 10-0

    400 = 4 x 102

    0,4 = 4 x 10-1 Notem que os três casos foram convertidos estes três números na forma de um produto de um número por uma potência de 10.

    Como converter?

    Se os zeros estiverem à esquerda a potência de dez será negativa.

    0,004 – 4 x 10-2

    Se os zeros estiverem à direita a potência de dez será positiva.

    4000 x 103

    Transformações envolvendo Potência de 10

    Nós já vimos quando temos um produto com uma potência de 10 que nem sempre esse produto vai ser notação científica. Para ser notação científica a mantissa que é o número que multiplica a potência de 10 tem que ser entre o 1 e 10 , inclusive o 1 tem que ser sempre menor que 10.

    Vamos converter um número que está fora desse intervalo para uma notação científica:

    Se a mantissa aumentar o expoente diminui se a mantissa diminui, o expoente aumenta.

    200 x 103 = 2 x 105

    Esse número não está dentro do intervalo entre 1 e 10. Para que ele fique dentro do intervalo temos que transformar esse 200 em 2 , foi diminuído duas casas da mantissa portanto o expoente vai ter que aumentar para compensar.

    0,02 x 103 = 2 x 101

    200 x 10-4 = 2 x 10-2 Vamos ao caso polemico 200 passou para 2 se a mantissa diminui a potência aumenta, porque -2 e não -6? Porque -2 é maior que -4.

    Recurso em vídeo

    Operações com potências - Matemática - Ens. Médio Telecurso

    Recursos em apostila

    A “Notação cientifica” é abordada no material disponibilizado pela Universidade Federal de Rondônia:

    Aula 3 - Notação Científica

    Autoavaliação

    1. Como descremos 2,045 * 104 na forma decimal?
    2. Como descremos 7,5 * 10-5 na forma decimal?
    3. Escreva o número 256800000000 em notação científica.
    4. Escreva 0, 000000000000384 em notação científica.

    Unidade 6



    Sistema métrico decimal

    Frações

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 7

    Operações com frações

    Fração é considerada parte de um todo, que foi dividido em partes exatamente iguais. As frações podem ser escritas na forma de números e na forma de desenhos.

    Se partirmos uma pizza, teremos frações:

    12 14 38
    Um meio Um quarto Três oitavos

    Vamos testar:

    O inteiro foi dividido em 8 partes iguais, onde 6 foram pintadas.
    O inteiro foi dividido em 4 partes iguais, onde 2 foram pintadas.

    Na fração, a parte de cima é designada de numerador, e indica o número de partes do inteiro que foram utilizadas. A parte de baixo é nomeada de denominador, e indica a quantidade máxima de partes iguais em que o inteiro foi dividido.

    Unidade 7

    Frações equivalentes

    Algumas frações parecem diferentes, mas na realidade é a mesma. As frações equivalentes representam a mesma parte do todo.
    Vejamos alguns exemplos:

    4 8 = 2 4 = 1 2
    =
    =
    Quatro oitavos Dois quartos Um meio



    É também possível simplificar frações por intermédio da divisão.
    As frações equivalentes são o resultado da multiplicação ou divisão do numerador e denominador de uma fração pela mesma quantidade.

    Podemos verificar se as frações são equivalentes de uma forma bem prática.

    12 16 : 2 2 = 6 8 : 2 2 = 3 4


    A fração 1216 poderia também ter sido dividida direto por 4 obtendo desse modo 34

    Agora repare na situação vivenciada quando desejamos simplificar, a fração 34

    Se eu desejar simplificar 34 eu não consigo, pois, 3 e 4 são números primos entre si.

    Neste caso teremos uma fração irredutível.

    Adicionando frações

    Adicionando frações com o mesmo denominador.

    Unidade 7

    14 + 14 =
    Um quarto
    +
    Um quarto
    =
    24 = 12
    Dois quartos
    =
    Um meio
    58 + 18 =
    Cinco oitavos quartos
    +
    Um oitavo
    =
    68 = 34
    Seis oitavos
    =
    Três quartos

    Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

    1 4 + 1 4 = 2 4

    Neste caso a fração pode ser simplificada desde que dividida em cima e em baixo pelo mesmo número, neste caso o dois e teremos,

    38 + 14 = ?
    +
    =

    Na situação apresentada, os denominadores são diferentes. Como devemos proceder?

    Você terá que encontrar uma maneira de os denominadores ficarem iguais.

    No caso apresentado, esse processo é fácil, pois sabemos que

    14 é igual a 28

    Unidade 7

    38 + 28 = 58
    +
    =

    Vejamos outro exemplo:

    13 + 16 = ?
    +
    =

    Para adicionar essas frações, temos que encontrar um denominador comum.

    Primeiramente vamos apresentar a lista de múltiplos de três:

    3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...

    Agora vamos apresentar a lista de múltiplos de seis

    6, 12, 18, 24...

    Neste momento vamos procurar o mínimo número comum aos múltiplos de três e seis ao mesmo tempo.

    Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...

    Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, ...

    A resposta é seis. Esse é o menor denominador comum.

    Vamos agora tentar ficar com os denominadores iguais.

    Para isso você deverá multiplicar o numerador e denominador da fração por dois.

    Vamos analisar outro exemplo:

    1 6 + 7 15 = ?

    Unidade 7

    Os denominadores são agora 6 e 15:

    Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...

    Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, ...

    O menor denominador comum entre seis e quinze é trinta.

    Para conseguir ter o mesmo denominador nas duas frações, teremos que multiplicar o denominador e numerador de 16 por cinco e multiplicar o denominador e numerador de 715 por dois.

    Agora que conseguimos ter os denominadores iguais, podemos adicionar os numeradores das frações.

    5 30 + 14 30 = 19 30

    Apresentando um outro exemplo:

    3 8 + 15 12 = ?

    Os denominadores são agora 8 e 12:

    Múltiplos de 8: 16, 24, 32, 40, 48, 54, ...

    Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, ...

    O menor denominador comum entre oito e doze é vinte e quatro.

    Para conseguir ter o mesmo denominador nas duas frações, teremos de multiplicar o denominador e numerador de 38 por três e multiplicar o denominador e numerador de 512 por dois.

    Agora que conseguimos ter os denominadores iguais, podemos adicionar os numeradores das frações.

    9 24 + 10 24 = 19 24

    Unidade 7

    Vejamos outro exemplo:

    1 3 + 1 6

    13 + 16 = ?
    +
    =

    2 6 + 1 6 = 2 + 1 6 = 3 6

    3 6 = 1 2

    26 + 16 =
    +
    =
    36 = 12
    =

    Para simplificar o cálculo podemos também recorrer à outra estratégia de cálculo:

    1 3 + 1 4 = ? ?

    Em primeiro lugar deveremos conseguir ter os denominadores iguais

    Para isso deveremos multiplicar o denominador e numerador de 13 por quatro

    1 . 4 3 . 4 + 1 4 = ? ?

    E multiplicar o denominador e numerador de 14 por três

    1 . 4 3 . 4 + 1 . 3 4 . 3 = ? ?

    Com os denominadores iguais o cálculo da soma das frações seria realizado

    4 12 + 3 12 = 4 + 3 12 = 7 12

    Unidade 7

    Outro exemplo:

    13+25

    +

    =1.53.5+2.35.3

    =515+615

    +

    =5+615=1115

    Subtração de frações

    Para subtrair frações você deverá seguir três passos.

    1. Se assegurar que os denominadores das duas frações são iguais;
    2. Subtrair os numeradores;
    3. Simplificar as frações se necessário.

    Exemplo 1

    3 4 - 1 4 = 3 4 - 1 4 = 3 - 1 4 = 2 4

    2 4 = 1 2

    Exemplo 2

    1 2 - 1 6

    12 - 16 = ?
    -
    =

    Unidade 7

    3 6 - 1 6 = 3 - 1 6 = 2 6

    36 - 16 = 26
    -
    =

    2 6 = 1 3


    Exemplo 3

    2 5 - 1 4 = ? ?

    2 . 4 5 . 4 - 1 4 = ? ?

    2 . 4 5 . 4 - 1 . 5 4 . 5 = ? ?

    8 20 - 5 20 = 8 - 5 20 = 3 20

    Multiplicação de frações

    A multiplicação de frações envolve três momentos:

    1. Multiplicação do numerador pelo numerador;
    2. Multiplicação do denominador pelo denominador;
    3. Simplificação da fração resultado se necessário.

    Exemplo:

    1 2 . 2 5

    1. Multiplicação do numerador pelo numerador.

    1 2 . 2 5 = 2 . 5 = 2

    2. Multiplicação do denominador pelo denominador

    1 2 . 2 5 = 1 . 2 2 . 5 = 2 10

    Unidade 7

    3. Simplificação da fração resultado se necessário

    2 10 . 1 5

    25 12.25
    210 15

    Outro exemplo:

    1 3 . 9 16

    1 3 . 9 16 = 1 . 9 = 9

    1 3 . 9 16 = 1 . 9 3 . 16 = 9 48

    9 48 = 3 16

    Outro exemplo:

    2 3 . 5

    2 3 . 5 1

    2 3 . 5 1 = 2 . 5 3 . 1 = 10 3

    Divisão de frações

    Quando se divide, na realidade estamos partindo algo em partes iguais.

    Quando se escreve,

    1 2 : 1 6

    Na prática afirmamos quantos 16 estão presentes em 12.

    Recorremos a um exemplo bem simples aproveitando a situação da pizza.

    Podemos afirmar a propósito que 12:16

    Que se trata de averiguar quantas vezes um sexto de fatia da pizza cabe em meia pizza.

    Unidade 7

    Quantas

    em

    1 2 : 1 6 = 3

    Para dividirmos uma fração por outra fração basta conservarmos a primeira fração e a multiplicarmos pelo inverso da segunda.

    1 2 : 1 6

    16 inverte 61

    1 2 . 6 1 = 1.6 2.1 = 6 2

    6 2 = 3

    Outro exemplo:

    1 8 : 1 4

    14 inverte 41

    1 8 . 4 1 = 1.4 8.1 = 4 8

    4 8 = 1 2

    Outro exemplo:

    4 8 = 5

    2 3 : 5 1

    51 inverte 15

    2 3 . 1 5 = 2.1 3.5 = 2 15

    Exemplo

    3 : 1 4

    3 1 : 1 4

    14 inverte 41

    3 1 . 4 1 = 3.4 1.1 = 12 1

    Recurso em vídeo

    Aprofunde seu conhecimento sobre frações assistindo aos vídeos da Telecurso sobre o conceito de fração e a propósito da comparação e operações com frações, bem como relacionando as frações e os números decimais.

    Conceito de frações

    Unidade 7

    Comparando frações

    Operações com frações

    Frações e números decimais

    A Fundação Khan proporciona um conjunto de recursos sobre o conceito de frações

    Objetos de aprendizagem

    Oferecemos agora a oportunidade de trabalhar o conceito de frações usando diversos objetos de aprendizagem.

    Autoavaliação

    1. Calcule as operações com frações:
      1. 37+17=
      2. 25+12=
      3. 59-37=
      4. 35.63=
      5. 15:120=
    2. Simplifique as frações:
      1. 1840
      2. 2436
      3. 2032
      4. 320400
    1. Efetue operações com números decimais:
      1. 3,64+2,47=
      2. 3,42+12,03+2,3=
      3. 42,1316,02=
      4. 3,42.1,3=
      5. 36,48:12=

    Unidade 7



    Expressão Aritmética

    Porcentagem

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 8

    Porcentagem

    As porcentagens estão presentes em diversas situações do dia a dia. Você já deve ter se defrontado com situações em que teve de recorrer ao conceito de porcentagem. Algumas dessas situações devem ter envolvido o cálculo de descontos ou do custo do atraso de uma parcela de um pagamento. Além das situações apresentadas, as porcentagens podem nos ajudar a reivindicar os nossos direitos e reclamar, por exemplo, por taxas e impostos cobrados. Propomos que usem a porcentagem em algumas situações comuns no dia a dia. Existem múltiplas formas de efetuar cálculos, envolvendo esse conceito e até é muito provável que você utilize a calculadora para realizar cálculos com porcentagens.

    50% significa 50 quadrados verdes da totalidade dos 100 quadrados.
    25% significam 25 quadrados verdes da totalidade dos 100 quadrados.

    100% correspondem à totalidade dos 100 quadrados.

    Unidade 8

    Uma porcentagem, também pode ser expressa como uma fração ou então como um número decimal.

    Metade da Pizza pode ser representada percentualmente por 50%, enquanto número decimal como 0,5 e enquanto fração como 1/2.

    Calculando a porcentagem

    O anúncio abaixo propõe que você compre uns sapatos femininos com 20% de desconto.

    A Francisca escolheu o modelo de sapatos vermelhos, apresentado ao lado:

    Qual o valor do desconto? Quanto a Francisca deverá pagar?

    Para resolver a situação dos sapatos que a Francisca deseja comprar e calcular o valor do desconto acompanhe o esquema a seguir.

    A totalidade do custo dos sapatos (100%) é de R$188,00 reais

    Sendo que 100% do valor dos sapatos correspondem a R$188,00, qual será o valor do desconto que será dado à Francisca?
    Para fazer esse cálculo, poderá recorrer a regras de três simples.

    R$ %
    188,00 100
    x 20

    Unidade 8

    20 . 188 = 3760

    x = 3760 100

    x = 37,60

    Perceba que para calcular 20% de R$188,00, multiplicamos por 20 e dividimos por 100.

    O valor do desconto que a Francisca terá ao pagar os sapatos é de R$ 37,60. Desse modo, ela pagará pelos sapatos: R$188,00 – 37,60 = R$ 150,40.

    Propomos agora que realize o cálculo recorrendo á calculadora:

    Digite: 188,00 x 20%

    O resultado que aparecerá no seu visor é 37,60.

    Lembrando que 20% = 0,2 poderemos recorrer a outro cálculo:

    Digite: 188,00 x 0,2

    O resultado do valor do desconto que aparecerá no visor da calculadora será 37,60

    Na situação anterior, foi apresentada a situação da Francisca que teve 20% de desconto na compra dos seus sapatos vermelhos, o que a deixou muito feliz. Mas neste momento a Francisca está necessitando saber se tem dinheiro para pagar os sapatos, pois este mês, do seu salário bruto de R$1.500,00 reais, serão descontados 500,00 de um vale que ela pediu há seis meses. Qual o percentual descontado do salário da Francisca este mês?

    Para calcular o percentual do salário da Francisca que será descontado este mês, vamos proceder do modo seguinte:

    x % . 1500 = 500

    ou

    x % = 500 1500

    x%=0.33, ou seja, x%=33.3100=33.3%

    É equivalente a dizer que x%=33%

    Este mês a Francisca tem um desconto de 33% de seu salário bruto. Parece que ela vai repensar a compra dos sapatos, após ter realizado o cálculo desse percentual.

    Não esqueça que "por cento" significa uma parte de 100 e que a porcentagem é a fração de um número sobre 100.

    Vejamos alguns exemplos, comuns no nosso dia a dia:

    Exemplo I

    10% significa que estamos trabalhando com dez partes em 100, por exemplo: Eu comi 10% de uma pizza, isso significa que a minha pizza foi dividido em 100 partes iguais e eu teria comido 10 dessas partes. Isso representa 10%. Portanto 10% significa 10 partes a cada 100.

    Unidade 8

    Exemplo II

    100% representa 100 partes em 100, ou seja, a totalidade como um todo. 50% representam 50 partes em 100, ou seja, metade de 100.

    Forma fracionária da porcentagem

    A porcentagem pode se explicar como forma de fração, Por exemplo: 10%, pode ser representado na forma 10 sobre 100 ou seja 10100.

    35% pode ser escrito na forma de 35 sobre 100, ou seja, 35100

    50% na forma de 50 sobre 100, ou seja, 50100

    100% da forma de 100100.

    Forma decimal da porcentagem

    Do mesmo modo como uma porcentagem pode ser escrita na forma de uma fração, também pode ser escrito na forma decimal.

    Vejam o exemplo:

    10010 = 10%

    Se você fizer a divisão, 1 por 10 corresponde a 0,1. Contudo, você nem precisa fazer aquela conta para chegar ao resultado de 1 dividido por 10. É só colocar uma vírgula para trás. Então vai ficar 0,1 que equivale a 10% ou seja, 10% na forma decimal equivale a 0,1.
    Isso vai ser muito importante quando você começar a fazer as suas contas.

    Para calcular 25% na forma decimal é só colocar a vírgula duas casas decimais para trás, vai ficar igual a 0,25. Isso equivale a 25%.

    Agora pense que você chegou ao meio da noite a um aeroporto. Na Praça de Táxis 50% estão disponíveis para conduzi-lo à sua casa. Falar em 50% é o mesmo que dizer que metade da frota está disponível, ou seja, 0,5. Portanto para calcular 50 dividido por 100 é só você colocar a vírgula duas casas decimais para trás. Desse modo, vai ficar 0,5 o que equivale a 50%.

    No caso de 100 sobre 100 essa fração é equivalente a 1 o que equivale a 100%.

    Para entender melhor imagine que você comeu um bolo inteiro, ou seja, você comeu 100% do bolo.

    Operações com porcentagens

    Agora vamos trabalhar com algumas operações matemáticas com frações.

    Numa operação matemática, o prefixo de pode ser substituído por uma multiplicação, por exemplo:

    Quando se fala de 20% de 64, isso significa que você pode multiplicar 20100 por 64. O mesmo é escrever 20100.64=12,8

    Outro exemplo, é a operação: 5% de 60

    Escrever 5% é a mesma coisa que 5 sobre 100 a multiplicar por 60.

    5 100 . 60 = 0,30 = 0,3

    Unidade 8

    “Lucro” trabalhando com porcentagens

    O lucro significa o valor que você paga a mais pela mercadoria, em virtude do ganho pelo proprietário da loja que vende os produtos.

    Exemplo:

    Vamos supor que você tem um sapato que custa 200,00 reais. Esse sapato vai ser vendido pela loja com um lucro de 30% ou seja, esse sapato custou para o proprietário da loja 200,00 reais. Como o proprietário da loja tem que pagar as contas de água, luz, impostos, telefone, etc., ele precisa naturalmente ter lucro. Neste caso ele estipulou um lucro de 30%.

    Agora pergunta-se qual vai ser o preço da venda?

    O custo que é duzentos reais mais o lucro do proprietário da loja conduz a um aumento de 30 %.

    Para o cálculo basta colocar 30 sobre 100 vezes 200,00

    30 100 . 200 = 60,00

    Será que esse é valor que o consumidor vai pagar pelo produto?

    Claro que não, pois esse valor é apenas o aumento do lucro do proprietário da loja. Qual vai ser o real preço de venda do produto?

    200,00 + 60,00 = 260,00

    Este cálculo é a forma mais longa, vamos observar uma forma mais direta.

    Sabendo que o produto teve um acréscimo de 30%, então multiplicaremos o valor inicial do produto por 1,3.

    Se o valor do lucro desejado fosse de 40% o valor inicial deveria ser multiplicado por 1,4. Neste caso 200,00 x 1,4 = 280,00.

    “Desconto” trabalhando com porcentagens

    Desconto significa redução do preço de uma mercadoria e pode ser associado, por exemplo, a Promoção ou Queima de Estoque. A loja diminui o valor do preço que o produto tinha anteriormente. Vamos ver agora como isso funciona:

    Um sapato que tem um preço normal de 100,00 reais vai ser vendido com um desconto de 30%. Pergunta-se: Qual vai ser o preço de venda desse sapato?

    Para saber quanto é 30% de 100,00 somos obrigados a fazer o seguinte cálculo. 30% vezes 100,00 = 30,00. O valor da venda do sapato de 100,00 tem como desconto de 30,00, portanto o valor de venda final do sapato será de 70,00.

    Podemos calcular o valor final do produto com o desconto, utilizando outro método de cálculo:

    Como o sapato diminuiu 30%, você vai pagar 70% do valor inicial. Sendo assim, basta multiplicar os 100,00 reais iniciais por 0,7.

    100 x 0,7=70,00

    Unidade 8

    Exemplo

    Vamos ver agora uma estratégia para trabalhar as porcentagens com descontos que facilitará os nossos cálculos.

    Se você tem um desconto de 10% você vai multiplicar por 0,9, porque você deixa de pagar 10%, e desse modo só será pago 90%, ou seja, 0,9.

    Vamos a outro exemplo?

    Se você tem desconto de 20% você paga 80% ou melhor, 0,8. Você vai multiplicar por 0,8. Se diminuir 20% você vai pagar 80% do produto, por isso você vai multiplicar por 0,8.

    Se diminuir 30% você vai pagar agora 70% do valor do produto, então você vai multiplicar por 0,7.

    Se você diminuir 5% você vai pagar 95 por cento, então você vai multiplicar por 0,95.

    A calculadora no cálculo de porcentagem

    Em sua vida profissional, a calculadora poderá ajudar a realizar cálculos mais complicados.

    Como calcular, por exemplo: 18% de 764,00?

    Uma calculadora certamente ajudaria.

    Mas como você poderá calcular porcentagem na máquina de calcular?

    As calculadoras permitem o cálculo de porcentagem através de uma tecla com o símbolo (%).

    Aprenda, passo a passo, como calcular 18% de 764,00.

    1º passo: Digite o número 764 na calculadora.

    2º passo: Aperte a tecla que indica a operação de multiplicação.

    Unidade 8

    3º passo: Digite o número 18.

    4º passo: Aperte a tecla %.

    Depois desse procedimento, o valor 137,52 que aparece no visor corresponde a 18% de 764,00.

    Recursos em vídeo

    O conceito de porcentagem usado no dia a dia e pormenores específicos associados ao seu cálculo são abordados nos vídeos produzidos pela Fundação Roberto Marinho para a Telescola e pela Fundação Khan.

    O conceito de porcentagem aplicado ao dia a dia

    Introdução às porcentagens

    Objetos de aprendizagem

    Objetos de aprendizagem específicos para a abordagem das porcentagens facilitam a compreensão da temática das porcentagens.

    Unidade 8

    http://www.mathplayground.com/percent_shopping.html

    http://www.thegreatmartinicompany.com/percent-percentage/percent-is-of.html

    Objetos de aprendizagem específicos para tablets e smartphones Android, contribuem para a aprendizagem do conceito de porcentagem.

    Autoavaliação

    1. Observe o quadro onde se registrou a porcentagem do dia em que alguns animais passam a dormir. Calcule quantas horas por dia dorme um coala?
    2. ANIMAL PORCENTAGEM
      CAVALO 0,08%
      COALA 92%
      GATO 54%
      BOI 58%

    3. São Paulo recicla 35% das 360 toneladas diárias de latas usadas para óleo de soja e conservas. Os Estados Unidos reciclam 43%; e o Japão, 61%. Quantas toneladas de latas são recicladas por dia em São Paulo?
    1. Francisco sabe que a formação permanente é essencial para o cidadão do século XXI. Por tal motivo, inscreveu-se num curso de computação. O curso custa: 2 X R$ 160,00 ou R$ 300,00 à vista, com desconto de 30% para ex-alunos alunos da Escola Municipal Padre Tomé, que por sorte Francisco frequentou. Se pagar à vista quanto Francisco pagará pelo curso?
    2. João trabalha numa empresa e recebe de salário por mês R$ 1466,73, mas como João é muito eficiente foi promovido e vai ganhar um aumento de 30%. Quanto será o salário de João?

    Unidade 8



    Porcentagem

    Potências

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 9

    Potências

    A potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais. Se temos a multiplicação: 3 x 3 x 3 x 3 x 3, podemos representá-la usando a potência 35, onde 3 é a base e 5 o expoente. Leia-se: três elevado à quinta potência. O expoente define o número de vezes que a base será multiplicada por ela mesma.

    Recursos em vídeo

    A fundação Roberto Marinho produziu os vídeos sobre potenciação que poderão subsidiar o seu estudo sobre a potenciação, envolvendo o conceito e as operações com potências.

    Potências e raiz:

    Objetos de aprendizagem

    Os objetos de aprendizagem propostos procuram criar as condições para subsidiar o seu estudo sobre potências.

    Autoavaliação

    1. Transforme numa só potência:
      1. 79 – 76 =
      2. 83 . 8-6 =
      3. 64 + 65 =
    2. Calcular: 23; (-2)3; ; -23
    3. Calcular: (0,2)4; (0,1)3
    4. Calcular: 2-3; (-2)-3; -2-3
    5. O valor da expressão (-1)0 + (-6) : (-2) – 24 é:
      1. 20
      2. -12
      3. 19,5
      4. 12
      5. 10

    Unidade 9



    Potência

    Equação do 1º grau

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 10

    Definição de Equações do Primeiro Grau

    Vamos começar com a definição. Uma equação representa uma relação de igualdade entre duas expressões. Por exemplo: 2x + 1 = 3x - 4.

    Então, a primeira expressão 2x + 1 = a segunda expressão 3x - 4. Portanto, nós podemos dizer que tudo isso representa uma equação.

    x = 4

    Equação muito simples, porque a obtêm-se direto o valor do x .

    x = 4

    X2 - 5x + 6 = 0.

    Novamente nós temos uma relação de igualdade entre duas expressões e esse caso representa uma equação de segundo grau.

    Analogia com Balança

    Para entendermos como funciona as equações do primeiro grau, vamos dizer que equações são similares às balanças de dois pratos. Se a balança está em equilíbrio, então os dois pratos têm a mesma massa, ou seja, eles são iguais.

    Vamos supor uma balança com 4 bolinhas azuis de uma lado e duas bolinhas vermelhas do outro lado. Não sabemos quanto pesa cada bolinha individualmente, mas sabemos que quatro bolinhas azuis equilibram duas bolinhas vermelhas. Pode-se perceber como a bola fica em equilíbrio. Então, podemos falar que nesse caso 4 bolinhas azuis que nós representamos por A é igual a duas bolinhas verdes 4 A=2V, temos aqui uma equação.

    Por que uma equação?
    Porque temos uma relação de igualdade entre esses dois termos.

    Novamente vamos fazer outra analogia. Se nós adicionarmos mais peso a qualquer lado da balança a mesma ficará desequilibrada. Então, na nossa balança anterior nós tínhamos 4 bolinhas azuis que equilibravam com duas bolinhas vermelhas. Mesmo eu não sabendo quanto vale em cada lado, eu posso dizer que: se os dois lados estão equilibrados e eu coloco qualquer coisa em um dos lados, isso naturalmente desequilibra a balança. E se eu pegasse uma bolinha branca colocasse naturalmente na balança junto com as bolinhas vermelhas, penderia para esse lado, então, nós temos uma relação de desigualdade. Quatro bolinhas azuis é menor do que duas bolinhas vermelhas mais uma bolinha branca.

    Mas, se nós adicionarmos pesos iguais aos lados de uma balança, ela continuará equilibrada. Por exemplo: nós tínhamos quatro bolinhas azuis que equilibravam duas bolinhas vermelhas, então, novamente eu não sei quanto vale a bolinha vermelha e nem quanto vale a bolinha azul. Eu sei que essa quantidade equilibra com essa, e se as duas em contatos equilibram, se eu pegar uma outra bolinha, por exemplo, uma bolinha branca e colocar a mesma bolinha do outro lado da balança, necessariamente vai equilibrar. Mesmo eu não sabendo o quanto vale as bolinhas azuis e mesmo não sabendo quanto vale a bolinha branca. Intuitivo para você, não é mesmo?

    Unidade 10

    Quatro bolinhas azuis mais uma bolinha branca são iguais a duas bolinhas vermelhas mais uma bolinha branca. Continua uma bolinha branca de cada lado sendo a bolinha branca igual, ela equilibra novamente a nossa balança. Se nós dividirmos ou multiplicarmos igualmente ambos os lados da balança ela continuará equilibrada. Então nós temos duas bolinhas, lembra que quatro bolinhas azuis equilibravam com duas bolinhas vermelhas? Se eu cortar os dois lados na metade, também eu vou ter o equilíbrio, ou seja, se quatro equilibrava dois, dois agora com certeza vai equilibrar com um. Duas bolinhas azuis igual a uma bolinha verde.

    Como você já deve ter percebido nós passamos para vocês através dessa balança o conceito de soma dentro de uma equação, o conceito de multiplicação e divisão. E nós vamos tornar isso ainda mais intuitivo vendo o caso prático. Vamos compreender antes as regras de uma equação.

    Método longo

    Vamos supor que temos x + 3 = 5

    Se eu tenho x+3=5 esse termo é igual a esse outro termo, pense como se você tivesse os dois lados de uma balança. O que acontece? Você concorda que; se eu tirar três de cada lado, a balança vai continuar equilibrada? Sim, x+3 tirei o três desse lado e tirei o três do outro lado. Fiz a mesma operação dos dois lados. Então, vamos ver quanto vai dar?

    x + 3 = 3 vai dar x + 0, porque 3 – 3= 0 e 5 - 3 =2. Resumindo aqui x + 0 vai dar x = 2. Perceba que esse método longo, a partir dele surge uma regrinha prática: x + 3 = 5. Eu posso pegar esse 3 passar para lá subtraindo, daí que surge a regra não é? De passar para o outro lado subtraindo.

    x + 3 = 5

    x = 5 – 3 = 2

    x = 2

    Regra prática: Está somando? Passe para outro lado subtraindo.
    Regra prática: Está subtraindo passa para o outro lado somando.

    Soma e Subtração

    Método Longo Regra Prática
    x+3=5
    x+3-3=5-3
    x+0=2
    x+3=5
    x=5-3
    x=2

    Divisão e Multiplicação

    Agora vamos fazer a comparação com aquele caso. Onde nós tínhamos uma balança e nós dividimos os pesos da balança em duas partes iguais, por exemplo: vamos utilizar o método longo. Eu tenho 2x = 10 uma parte da balança igual a outra parte da balança, correto? Então, se eu dividir as duas partes por dois vai continuar a mesma coisa, a balança vai continuar equilibrada, então, 2x = 10 divido essa parte por dois e divido essa parte por dois, então, 2x por 2 = x e 10 por 2 = 5.

    Unidade 10

    Esse é o método longo. Daí é que surge a regra prática, que é uma simplificação desse método 2x = 10. O dois está multiplicando e passa para o outro lado dividindo, então 2x = 10. 2 vai para baixo do 10.

    2x = 10
    x = 102
    x = 5

    Muitos alunos perguntam: Porque na divisão o dois não passa para o outro lado com o número negativo? Porque na soma isso acontece se o dois está somando passa para o outro lado subtraindo. Porque que na divisão não passa para lá com sinal contrário? Então, por conta disso que se você pega esse 2 e passa para o outro lado dividindo ele não muda de sinal. Na verdade a regra prática é somente uma simplificação do método longo X = 5 e nós temos duas explicações:

    Regra Prática

    Se você está multiplicando passe para o outro lado dividindo e se você está dividindo passe para o outro lado multiplicando.

    Propriedade Distributiva

    Você vai usar muito essas propriedades não só na multiplicação, mas também em alguns cálculos de expressões, por exemplo: quando tiver um produto antecedendo uma operação de soma ou subtração é necessário distribuir esse produto entre todos os termos da respectiva operação. Vamos ver como isso funciona agora:

    2 (3 – x ) =
    6 - 2 x =

    Perceba que foi feito a distributiva, pois temos uma multiplicação que antecede uma subtração por causa disso eu tenho que fazer a distributiva.

    Vamos ver agora um caso um pouquinho mais complicado:

    ( x + 2 ). ( x + 2 ) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4

    Novamente eu tenho uma multiplicação:

    x + 2 que está multiplicando uma soma e nesse caso vamos fazer a distributiva novamente, veja como fica. Vamos pegar o x multiplicar pelo primeiro termo depois pelo segundo termo depois e pegar o 2 multiplicar pelo primeiro termo depois pelo segundo termo. Perceba como fica:

    Não tenho mais nada para multiplicar por esse x, correto ? Então, vamos para o 2:

    2 x.x = 2x
    2 x 2 = 4

    Perceba que não tem mais nada pra multiplicar. Então, agora eu vou simplificar essa expressão:

    x2 + 2x + 2x = 4 x2 + 4x + 4

    Unidade 10

    Propriedade Distributiva (normalmente)

    Se tivermos uma sequência de divisões ou de multiplicações sem que exista uma soma ou subtração no meio, faça o produto normalmente. Por exemplo:

    2. ( x + 5 ) = 2x + 10

    Perceba que existe um produto antecedendo uma soma ou podendo ser também uma subtração.

    2 . x = 2x
    2 . 5 = 10

    Perceba que foi feito a distributiva, mas cuidado! Nesse outro caso, nós não temos nenhuma soma e nenhuma subtração, então, você não deve fazer a distributiva, faça a conta naturalmente. Tire o parêntese e faça a conta.

    2. ( x . 5 ) = 2. x . 5 = 10x

    Dois que multiplica x que multiplica 5 é a mesma coisa que dois que multiplica x que multiplica 5. Podemos multiplicar eventualmente o 5 pelo 2.Você pode multiplicar dois por x ou 2 por cinco direto, dois por 5 vai dar 10, então 10x.

    Resolvendo Equações

    O objetivo de toda equação; é encontrar o valor da incógnita, para isso, você sempre tem que tentar isolar o x. Outra coisa importantíssima sempre que possível teste a solução.

    5x -6 = 3x +8

    Como fazer? Você vai passar todos os termos que têm x para o lado esquerdo e todos os termos que têm números para o lado direito.

    5x – 6 = 3x + 8
    5x -3x = 8 + 6
    2x = 14
    x = 142
    x = 7

    Testando a Solução

    Eu obtive o valor de x = 7

    Isso significa que, se você pegar esse valor de x que deu 7 e substituir pelo valor de x você tem que chegar a uma solução lógica.

    Então, substituindo sete aqui nessa equação 5 . 7 - 6 = 3 . 7 +8 onde tinha x vou colocar 7 que foi a minha solução. Então ficou da seguinte forma:

    5 . 7 = 35 - 6 = 3 . 7 = 21 + 8
    35 – 6 = 29
    21 + 8 =29

    Olha só:

    29 = 29

    Unidade 10

    Então, realmente você chegou na solução x = 7

    Outro exemplo:

    Vamos fazer com um caso de uma fração. Vocês já sabem somar quando tem uma soma de frações. Você tem que tirar o mínimo múltiplo comum entre todos os termos. Então, se você pegar o 4, 7 e o 28 e tirar o mínimo múltiplo comum desses três termos, você vai chegar na resposta que o mínimo múltiplo comum é, 28. Então, o que vou fazer?

    6x-74 -3x-57 -5x+7828

    7(6x-7)28 -4(3x-5)28 -5x+7828

    42x-49+12x-20-5x+78
    42x+12x-5x=78+49+20
    49x=147
    x= 14749
    x=3

    Foi o que aconteceu aqui: 28 divide por sete, ou seja, divide embaixo e multiplica em cima, 6 . 7 = 42 e 7 . 7 = - 49 Porque mais com menos igual a menos, mas mantém o sinal e quatro vezes três vai dar 12 e 4 . 5 vai dar - 20 porque 4 vezes menos 5, mais com menos na multiplicação vai dar menos igual - 5x mais 78.

    Vamos passar todos os termos em x pra esquerda e todos os termos com números pra direita, então 42 foi positivo pela esquerda continua positivo e o mais 12 estava na esquerda continua na esquerda positivo, o cinco x está positivo, aqui ele vai para esquerda.

    Vai ficar menos 5x, está somando passa para o outro lado subtraindo, então coloquei todos os números com x para a esquerda e vou colocar todos os números normais para a direita.Então 78 está na direita, mantendo, 49 está negativo passa para lá positivo e o número 20 passa para lá positivo. Resumindo: mudou de lado, mudou de sinal nesse caso,

    E agora o que podemos fazer?

    42 + 12 – 5 = 49
    78 + 49 + 20 = 147

    Você pode fazer o seguinte: 49 não está multiplicando? Passa para o outro lado dividido, então x é 147 sobre 49.

    E se você fizer essa continha, você vai chegar ao resultado que x é igual a 3. O que será feito agora?

    Testaremos esta solução para ver se realmente o x é = a 3.

    6x-74+3x-57-5x+7828

    Onde tem x eu vou colocar 3 . 6 - sete sobre quatro + 3 . 3 – 5 sobre 7 = 5 . 3 + 78 sobre 28. Então, resolvendo isso: seis vezes três vai dar 18 -7 que vai dar 11 sobre 4. Três vezes três = 9 - 5 vai dar 4 sobre 7 e mantenho o denominador. E cinco vezes três mais 78 vai dar 93 mantém o denominador. Novamente vamos tirar o mínimo múltiplo comum de 4, 7 e 28 você já sabe que vai dar 28 . Então ficou da seguinte forma: 28 dividido por 4 vai dar 7 e sete vezes 11 = 77

    Unidade 10

    3 . 6 - 7 4 + 3 . 3 - 5 7 = 5 . 3 + 78 28

    18 - 7 4 + 9 - 5 7 = 15 + 78 28

    11 4 + 4 7 = 93 28

    77 28 + 16 28 = 93 28

    Quando tenho duas frações com o mesmo denominador eu posso manter o denominador e somar os numeradores, então, vai ficar 28 mantenho 77 + 16 = 93 .

    Deu o mesmo valor dos dois lados, então, realmente x = 3 é o resultado dessa equação.

    Igualdade implica igualdade

    Continue a equação na mesma linha, só que nesse caso para não ficar poluído e até para facilitar a compreensão é importante que você alterne os sinais de igual e implica que essa flechinha dupla, flechinha com duas barrinhas ou pelo sinal de que vale, a mesma coisa, uma flechinha com duas barras não é? Com dois sentidos, isso facilita a compreensão, por exemplo:

    2x + 3 = x + 4

    Uma igualdade implica numa outra e igualdade, então:

    2x + 3 = x + 4 nisso implica em

    2x – x => 4-3 isso implica em x igual a 1

    Tudo isso para não ficar vários sinais de igual, E o que acontece? Chega a hora que você se perde na equação.

    Casos Adicionais

    É possível que você tenha equações do primeiro grau comum a resposta que foi inclusive os casos que vimos agora, ou seja, infinitas respostas e nenhuma resposta.

    Esses dois últimos casos nós vamos ver agora. Então, por exemplo:

    x + 4 = x

    Nesse caso você vai pegar o x passar para o lado esquerdo e passar o número 4 para o lado direito para ficar:

    x - x = - 4
    x - x = 0

    Na verdade - 4 continua – 4. Isso é um absurdo, porque 0 vale 0 e o zero não vale menos 4.
    O conjunto verdade disso aqui é vazio nós representa com uma bolinha com um risquinho. Vamos ver agora quando é que uma equação tem infinitas respostas por exemplo:

    2x + 3 – 1 = 2x + 2

    Unidade 10

    Você pode fazer então,

    2x + 3 – 1 = 2
    2x + 2 = 2x + 2

    Dois termos iguais. Isso aqui como é uma igualdade implica numa igualdade, então:

    2x - 2x Passa esse 2x pra cá e vai dar zero é igual a 2 – 2 = 0

    Perceba que qualquer número que você jogar aqui nesse x você vai chegar à resposta de 0 = 0

    Por exemplo:

    Vou jogar o número 1

    2 . 1 = 2 + 3 = 5 – 1 = 4

    Desse lado jogando o número 1 deu 4

    2 . 1 = 2 + 2 = 4
    4 a 4

    Qualquer número que você jogar aqui vai chegar numa resposta lógica. Foi o que aconteceu. O conjunto verdade dessa equação é real, porque qualquer número real serve como resposta e nesse tipo de equação então, nem sempre uma equação do primeiro grau tem uma única resposta, pode acontecer de ter infinitas respostas, é o que acontece nesse caso ou pode mesmo acontecer ao não ter nenhuma resposta que acontece nesse primeiro caso.

    Recursos em vídeo

    Equação do 1º Grau Matemática - Novo Telecurso

    Autoavaliação

    1. Transforme as frases correntes em expressões com variáveis:
      1. O dobro de um número, somado com 5 é igual a 45. Qual é esse número?
      2. O triplo de número, somado a 4 é igual a 34. Qual é esse núnero?
      3. Um número somado com o seu dobro é igual a 300. Qual é esse número?
    2. Metade da idade do Francisco é igual a 18. Qual a sua idade?
    3. Sabendo que o triplo de um número, somado com 10, é igual ao número somado com 15, descubra qual é esse número.
    4. João tem 32 anos, e o seu filho tem 7 anos. Daqui quantos anos a idade do pai será o dobro da idade do filho?
    5. O dobro da idade do Eugênio, subtraído do triplo de 8, é igual a 32. Qual a idade do Eugênio?

    Unidade 10


    Equação do 1º Grau - I

    Unidade 10


    Equação do 1º Grau - II

    Equação do 2º grau

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 11

    Equações do segundo grau

    Definição

    Vamos começar explicando o que é o grau de uma equação.

    O grau de uma equação é determinado pelo maior expoente da variável presente dentro de uma equação. Por exemplo:

    Vamos supor que você tenha 2x + 1 dando com o resultado 3x – 4. Eu pergunto:
    Esse x está elevado a que?
    O x está elevado a um.

    Qual é o maior expoente do x dentro dessa equação?

    O maior expoente é um, por isso nós dizemos que a equação é do primeiro grau. Nesse caso esse x está ao quadrado. Esse x está elevado a um. E aqui não temos x. Então, o maior expoente do x nessa segunda equação é 2. Por conta disso nós dizemos que a equação é do segundo grau. Nós temos equação do terceiro grau, quarto grau, quinto grau e assim sucessivamente.

    Observação

    Vamos chamar de raiz os valores de x que satisfazem uma equação tanto na primeira como na segunda quanto em qualquer equação.

    A Fórmula de Bhaskara

    A Fórmula de Bhaskara foi desenvolvida por um importante matemático indiano para resoluções de equações do segundo grau. Vamos supor que você tenha:

    ax2 + bx + c = 0

    Então vai valer a seguinte relação:

    x = - b ± b 2 - 4 a . c 2 a ou x = - b ± Δ 2 a

    A aplicação da fórmula

    Vamos supor que você resolva a equação:

    x2- 5x + 6 = 0

    Nós sabemos sabe que:

    a = 1
    b = -5
    c = 6

    Deixando claro: porque que o a vale um. Quando não tem nada sinalizando número nós assumimos que nós temos um.Se tivesse 2x2 o a valeria 2. Porque se tem 1x2, por isso um.

    a vale 1
    b vale -5
    c vale 6

    Usando a Fórmula de Bhaskara x=-b±b2-4a.c2a , nós temos:

    x = - ( - 5 ) ± ( - 5 ) 2 - 4 . 1 . 6 2 . 1 = 5 ± 25 - 24 2 a = 5 ± 1 2

    Então nós perguntamos: porque este mais ou menos? Quer dizer que o resultado é aproximado? Não quer dizer que nós vamos ter dois resultados possíveis para esta solução:

    Unidade 11

    5 + 1 2 = 2

    5 - 1 2 = 2

    Isto significa que o conjunto solução da nossa equação é: S = 2,3

    Compreendendo o Delta

    Já vimos que x=-b±Δ2a (onde Δ = b2 - 4ac)

    Do Delta podemos extrair três casos possíveis:

    Quando Δ > 0: Teremos duas raízes distintas;
    Quando Δ = 0: Teremos uma única raiz (também chamada de raiz dupla);
    Quando Δ < 0: Não teremos raízes reais.

    EXEMPLIFICANDO

    Vamos encontrar as raízes da seguinte equação:

    x² - 6x + 9 = 0
    Δ = b² - 4.a.c
    Δ = (-6)² - 4.1.9
    Δ = 36 – 36
    Δ = 0

    Agora veja o que acontece:

    Você já sabe que:

    x=-b±Δ2a

    Se fizermos a aplicação dessa fórmula para obtermos a solução dessa equação você tem:

    x = - ( - 6 ) ± 0 2 = 6 + 0 2 =

    6 + 0 2 = 3

    6 - 0 2 = 3

    Obtivemos duas raízes iguais, então o conjunto verdade dessa equação é:

    V = {3}

    Soma e Produto

    EXEMPLIFICANDO

    Vamos encontrar as raízes da seguinte equação:

    x² - 2x + 9 = 0

    Δ = b² - 4.a.c
    Δ = (-2)² - 4.1.9
    Δ = 4-36
    Δ = - 32

    Unidade 11

    PERGUNTA:

    Existe raíz quadrada de – 32 no campo dos reais? Não existe, mas existem também os números complexos e através dos números complexos é possível você obter a raiz quadrada de números negativos, por enquanto não é possível. Então: x=-b±b2-4a.c2a

    Só que, como o Delta deu negativo você vai conseguir encontrar o valor de x? Não. Então por conta disso, você vai dar aqui o conjunto verdade dessa equação que é vazio. Sem resposta.
    V = ∅

    Soma e produto permite que você resolva equações do segundo grau às vezes de cabeça.

    Supondo que seja:

    ax² + bx + c = 0. Seja S a soma das raízes dessa equação e P o produto das raízes dessa equação.

    Então irão valer as seguintes regras:

    S = - b a

    P = c a

    Memorize estas relações, pois lhe ajudarão bastante. Nos casos mais simples, é possível encontrar as raízes da equação sem utilizar o método de Bhaskara, através do método da soma e produto. É importante deixar claro que o método da soma e produto não substitui o método de Bhaskara nos casos mais complicados.

    É bom que você saiba os dois métodos.

    Resumindo:

    Soma e produto é bom quando a equação é fácil, quando a equação é difícil, não tem jeito, tem que usar a Fórmula de Bhaskara, então tem que saber usar as duas.

    USANDO SOMA E PRODUTO

    Vamos descobrir as raízes da equação:

    x² - 5x + 6 = 0 pelo método de soma e produto Sabemos que:

    a = 1
    b = -5
    c = 6

    Sabemos também e vimos no quadro anterior que:

    S = - b a

    P = c a

    A soma vai ser igual a:

    S = - ( - 5 ) 1 = 5

    P = 6 1 = 6

    Unidade 11

    Nós temos que encontrar dois números que somados darão cinco e que multiplicados darão seis. Se você é bom de conta de cabeça já deve até saber a resposta. Caso contrário, recomendo que você comece pelo produto. Por que pelo produto? Porque sempre o produto tem menos possibilidades. Vamos pensar! Pense em dois números que multiplicados irão dar seis.

    COMECE PELO PRODUTO

    1 . 6 = 6

    2 . 3 = 6

    RAÍZES: 2 e 3

    PERGUNTA:

    Em algum desses casos a soma dos números vai dar cinco? Sim. No segundo caso. Quanto dá dois mais três? Dois mais três é igual a cinco. Você vai encontrar a resposta. Por quê? Por que você vai encontrar dois números que somados dão cinco e que multiplicados dão seis, logo as raízes dessa equação são dois e três.

    Outra coisa importante:

    É bom frisar que: ou o x é dois ou o x é três, pois é bom você falar que:
    x = 2 e x = 3. Errado.

    Pergunta. É possível um número assumir dois valores ao mesmo tempo? Não. Ou o x vai assumir o valor de dois ou o x vai assumir o valor de três. Não os dois ao mesmo tempo. Então, o conjunto verdade dessa equação é dois e três.

    x = 2 ou x = 3

    V = {2,3}

    OUTROS USOS DA SOMA E PRODUTO

    Exemplo: Encontrar uma equação cujas raízes sejam 2 e 3.

    Resolução: Através da soma e produto é fácil concluir que:

    Se a soma das raízes for S e o produto for P, então uma das raízes possíveis é :

    x² - Sx + P = 0

    Essa relação é bem útil.

    SOMA = 5 e PRODUTO = 6

    No caso se você quer encontrar uma equação onde as raízes sejam 2 e 3. A soma dessas raízes vale 5 e o produto vale 6, então logo uma das equações será:

    x² - 5x + 6 = 0

    Deixando claro que existem infinitas equações com as mesmas raízes, esta é apenas uma das equações que possuem raízes dois e três.

    Equações com termos ausentes

    Uma equação típica do segundo grau possui três termos:

    ax² + bx + c = 0

    Caso a equação do segundo grau tenha apenas dois termos existem formas ainda mais fáceis de resolver. Vamos resolver:

    Unidade 11

    x² - 5x = 0

    x² - 9 = 0

    Perceba que aqui temos duas equações do segundo grau e as duas com apenas dois termos, observe como se resolve:

    x² = 5x = 0

    x(x-5) = 0
    x = 0
    ou
    x – 5 = 0
    x = 5

    V = {0,5}

    x² - 9 = 0

    x² = 9

    x = 3 ou x = -3

    Equações Biquadradas

    São equações do quarto grau que podem ser resolvidas através dos métodos aplicados às equações de segundo grau. São do tipo:

    ax4 + bx2 + c = 0

    a(x2)2 + bx 2 + c = 0

    RESUMINDO

    Sempre que você tiver uma equação desse tipo:

    x² - 5x + 4 = 0

    O que você pode fazer?

    Você pode usar algumas técnicas das equações do segundo grau, como por exemplo, a Fórmula de Bhaskara. Então vamos ver como se resolve:

    x4 - 5x2 + 4 = 0 ⇒ (x2) 2 - 5x2 + 4 = 0
    Fazendo x² = y, temos:
    y² - 5y + 4 = 0

    SOMA = S=-ba

    S = - ( - 5 ) 1 = 5

    PRODUTO = P=ca

    P=41=4

    RAÍZES: 4 e 1

    x² = y
    x² = 4x = 2 ou x = - 2
    x² = 1x = 1 ou x = - 1

    V = {1, -1, 4, -4}

    Unidade 11

    Recursos em vídeo

    A fundação Roberto Marinho e a Fundação KhanAcademy produziu vídeos sobre equação do segundo grau que poderão subsidiar o seu estudo. Vale a pena conferir!

    A Equação do 2º Grau - Matemática - Novo Telecurso

    Equações e funções de segundo grau: resolução de equações do segundo grau por fatoração e uso de estruturas

    Autoavaliação

    1. Resolva as equações:
      1. 3x2 + 2x + 1= 0                     e. 3x2 – 6x + 3 = 0
      2. 25x2 + 10x +1 = 0                 f. x2 + 3x = 0
      3. x2 - 5x + 6 = 0                        g. x (x+1) = 0
      4. x2 – 9x + 20 = 0

    Equação do 2º Grau - I

    Equação do 2º Grau - II

    Equação Biquadrada

    Fórmula de Bhaskara

    Racionalização

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 12

    Definição de Racionalização

    Para você compreender Racionalização tem que ter um bom conhecimento em Raiz quadrado, potenciação, fatoração, frações e vários outros assuntos matemáticos.

    Racionalizar é o processo de transformar uma fração de denominador irracional em uma outra fração, equivalente, de denominador racional.

    1 2

    Tendo uma fração com denominador irracional temos que transformar essa fração em uma outra fração equivalente com denominador racional.

    1 2 = 1 2 . 2 2 = 2 22 = 2 2

    Obtivemos outra fração equivalente a primeira, só que ela é uma fração com denominador racional.

    12=22 São frações equivalentes.

    Para que serve? Sem a racionalização seria impossível obter o resultado decimal com uma precisão aceitável pelo método convencional da divisão.

    Exemplo: Calcular o valor decimal da fração 1 2

    Vamos supor que você queira achar o valor numérico de 12 , vamos começar achar 2.

    2 = 1, 4142135...

    Se você multiplicar 1,1 por 1,1 ainda está um pouco longe do número 2 se você pegar 1,4 chega mais perto. Você deve fazer tentativas de erros que vai aumentando gradativamente as casas decimais.

    1: 1, 4142135...

    Vai acontecer um problema quando você dividir o número 1 por esse valor numérico, pois tem infinitas casas depois da vírgula, então você fica impossibilitado de pegar um número e multiplicar por 1,4142135..., para achar o dividendo, você é obrigado a fazer arredondamento.

    Calcular o valor decimal da fração 22

    2 = 1,4142135...

    Se você pegar 1,4142135 ... dividido por 2 = 0,707...

    Métodos de Racionalização

    Quando houver um denominador com uma única raiz:

    a c b multiplique a b - c b

    1 3 2 5 = 1 3 2 5 . 3 3 5 3 5 5 = 3 3 5 3 5 5 = 3 3 5 3

    Para racionalizar temos que diminuir o expoente do índice que vai dar expoente 3, duas raízes multiplicadas pelo mesmo índice você pode pegar a mesma base e somar os expoentes, depois você pode cortar os índice da raiz com o índice 5, então você consegue racionalizar.

    Unidade 12

    Outro exemplo:

    2 4 3 = 2 4 3 4 2 3 4 2 3 = 2 . 4 2 3 4 3 3 = 2 . 2.2.2.2 3 4 = 2.2 3 3 2 = 2 . 2 3 2 = 2 3

    Quando houver um denominador com mais de uma raiz.

    a2 - b3 = (a + b) . (a – b) (diferença de quadrados).

    a3 + b3 = (a + b). (a2 - ab+ b2) (soma de cubos)

    a3 - b3 =(a – b) . (a3 + ab + b2) (diferença de cubos)

    2 3 + 2 = 2 3 + 2 . 3 - 2 3 - 2 = 2 . ( 3 - 2 ) 3 2 - 2 2 = 2 3 - 2 3 - 2 = 2 ( 3 - 2 )

    Outro exemplo:

    3 4 - 3 = 3 4 - 3 . 4 + 3 4 + 3 = 3 ( 4 + 3 ) 4 2 - 3 2 = 3 ( 4 + 3 ) 16 - 3 = 12 + 3 3 13

    Outro caso de racionalização - Aplicação

    Lembre-se (a-b) (a2+ab+b2) = a3 - b3

    7 3 3 - 2 3 = 7 3 3 - 2 3 3 2 3 + 3.2 3 + 2 2 3 3 2 3 + 3.2 3 + 2 2 3 = 7 ( 9 3 + 6 3 + 4 3 ) 3 3 3 - 2 3 3 = 7 ( 9 3 + 6 3 + 4 3 ) 3 - 2

    = 7 ( 9 3 + 6 3 + 4 3 )

    3 2 + 3 + 5 = 3 2 + 3 + 5 . ( 2 + 3 ) - 5 ( 2 + 3 ) - 5 = 3 ( 2 + 3 ) - 5 ) ( 2 + 3 2 ) - 5 2 = 3 ( 2 + 3 ) - 5 ) ( 22 + 2 2 . 3 + 3 2 ) - 5 =

    3 ( ( 2 + 3 ) - 5 ) ( 2 + 2 6 + 3 ) - 5 = 3 ( ( 2 + 3 ) - 5 2 6 . 6 6 = 3 6 ( ( 2 + 3 ) - 5 ) 2 6 2 = 3 6 ( ( 2 + 3 ) - 5 ) 12 =

    12 + 18 - 30 4 = 2 2 3 + 2 2 2 - 30 4 = 2 3 + 3 2 - 30 4

    Recursos em vídeo

    Expressões com expoentes racionais e radicais: simplificação de expressões numéricas irracionais

    Autoavaliação

    1. Racionalize a expressão abaixo:
      1. 733-23=
      2. 1325=
      3. 16+2x2

    Unidade 12



    Racionalização

    Conversão de Unidades

    Fonte: http://www.andrebuzzo.com.br/wp-content/uploads/2012/10/linguaInglesa.jpg

    Unidade 12

    Aprendendo converter Unidades

    Vamos aprender através de um método bem fácil chamado método da tabela.

    Definição

    Converter uma unidade de medida significa determinar o valor de uma primeira medida que equivale a uma segunda.

    Sistemas de medidas são uniformes. Não faz sentido converter quilogramas (massa) em Graus Celsius (temperatura). Só se pode converter entre medidas da mesma natureza.

    A padronização das medidas internacionalmente aceitas é realizada pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). Iremos discutir mais sobre SI em Física e Química.

    Prefixos

    Prefixos adotados pelo SI.

    Os prefixos do SI são uma forma prática de se evitar a notação científica e facilitar a compreensão de grandezas, ou seja, é mais fácil compreender 1 km do que 1.10³m.

    Vamos ver agora uma lista dos prefixos que são aceitos pelo Sistema Internacional de Unidades.

    LISTA DE PREFIXOS ADOTADOS PELO SI
    PREFIXO SÍMBOLO VALOR PREFIXO SÍMBOLO VALOR
    Yotta Y 1024 Deci d 10-4
    Zetta Z 1021 Centi c 10-2
    Exa E 1018 Mili m 10-3
    Peta p 1015 Micro µ 10-6
    Tera T 1012 Nano n 109
    Giga G 109 Pico p 10-12
    Mega M 106 Femto f 10-15
    Kilo k 103 Atto a 10-18
    hecto h 102 Zepto z 10-21
    deca da 101 yocto y 10-24

    Unidade 12

    Os prefixos que estão destacados são os mais utilizados no nosso dia a dia.

    COMPREENSÃO

    No caso de conversão para a unidade sem prefixo (como metro ou grama), a conversão é direta, basta substituir o valor do prefixo.

    1 km = 103m
    1 cm = 10-2m
    1mm = 10-3m

    E assim por diante...

    CONVERSÃO ENTRE UNIDADES PREFIXADAS
    MULTIPLICA ↓ PREFIXO SÍMBOLO VALOR DIVIDE ↑
    tera T 1012
    giga G 109
    mega M 106
    kilo k 103
    hecto h 102
    deca da 101
    deci d 10-1
    centi c 10-2
    mili m 10-3
    micro µ 10-6
    nano n 10-9
    pico p 10-12

    Passos Básicos a seguir

    Primeiro divida a unidade maior pela menor (SEMPRE). Você irá obter uma potência de dez.

    Depois disso:

    Do maior para o menor, multiplique, mas se a conversão for do menor para o maior, divida.

    Vamos ver como funciona:

    Conversão em Unidades de Comprimento

    Vamos converter 3 km em dam como que você faz?

    Primeiro você localiza na tabela os dois.

    PREFIXO SÍMBOLO VALOR
    mega M 106
    kilo k 103
    hecto h 102
    decta da 101

    Unidade 12

    MULTIPLICA

    10 3 10 = 10 3 - 1 = 10 2

    Estamos indo da unidade MAIOR para a MENOR, logo, vamos multiplicar por 102
    3km = 3.102 dam = 300 dam

    OUTRO EXEMPLO

    Agora vamos converter dam em km

    PREFIXO SÍMBOLO VALOR
    mega M 106
    kilo k 103
    hecto h 102
    decta da 101

    Primeiro você localiza na tabela onde está kilo e deca

    DIVIDE

    10 3 10 1 = 10 3-1 = 10 2

    Estamos indo da unidade MENOR para a unidade MAIOR, logo, vamos DIVIDIR por 102

    Então: 3102 dam = 3 km = 3.10 -2km

    OUTRO EXEMPLO

    Vamos converter 12 km em mm

    Multiplica PREFIXO SÍMBOLO VALOR
    kilo k 103
    Mili m 10-3

    103 10-3 = 103(-3)

    Estamos indo da unidade MAIOR para a MENOR. Logo, vamos multiplicar por 106

    12 km = 12.106mm = 12.000.000 mm

    Vamos continuar com a conversão de unidades utilizando o método da tabela. Só que agora vamos fazer isso para unidades de área.

    Unidades de Área

    Nas unidades de área você vai fazer exatamente como se fazia nas conversões de comprimento. A única mudança será: Em áreas, eleve ao quadrado a diferença do maior pelo menor.

    Unidade 12

    RESUMINDO:

    Lembra que você pegava o numero maior e dividia pelo numero menor e obtinha o resultado? Pois bem, você vai pegar o mesmo resultado que você obtinha e elevar ao quadrado.

    EXEMPLO:

    Converter 12 km2 em cm2

    Multiplica ↓ PREFIXO SÍMBOLO VALOR Divide ↑
    kilo k 103
    Centi c 10-2

    103 10-2 = 103-(-2) = 105

    Elevando ao quadrado: (105)2 = 105.2= 1010

    Agora o que você vai fazer com esse 1010?

    Estamos indo da unidade MAIOR para a MENOR. Logo, vamos multiplicar por 1010

    Então:

    12 km2 = 12.1010 cm2 ou 1,2. 1011cm2

    Agora vamos fazer a operação contrária, vamos converter: 16 mm2 em cm2 Vamos converter agora do MENOR para o MAIOR. Como iremos fazer?

    Multiplica ↓ PREFIXO SÍMBOLO VALOR Divide ↑
    centi c 10-2
    Mili m 10-3

    10-2 10-3 = 10-2-(-3) = 10-2+3 =101 Elevando ao quadrado fica:

    (10 1)2 = 101.2 = 102

    Agora a pergunta: Eu vou dividir ou multiplicar por 102? Basta ver o problema. Nós estamos convertendo de milímetro para centímetro, da unidade MENOR para a MAIOR, então nós vamos dividir por 102

    16mm2 = 16102cm2 = 16.10-2cm2 ou 1,6.10-1cm2

    Conversão para Unidades sem Prefixo

    Nesse caso basta simplesmente elevar o valor numérico do prefixo ao quadrado, mas lembre-se que da unidade MAIOR para a MENOR, multiplica-se, e da unidade MENOR para a MAIOR, divide-se. Não muda nunca. Agora vamos converter 16 km2 em m2

    Unidade 12

    K = 103

    K = (103)2 = 106

    Como o km2 é MAIOR do que m2 vamos multiplicar por 106 16km2 = 16.106m2 = 1,6. 107m2

    OUTRO EXEMPLO

    Converter 16m2 em km2

    K = 103

    K2 = (103)2 = 106

    Agora vamos multiplicar ou dividir?

    Como o m2 é MENOR do que km2 vamos dividir.

    16m2 = 162106km2 = 16.10-6km2 ou 1,6.10-5km2

    Conversão para Unidades de Volume

    Nós vamos aprender a converter entre unidades de volume. Nas unidades de volume faça exatamente como nas conversões de comprimento. A única diferença será:

    Em volumes, eleve ao CUBO a diferença do MAIOR pelo MENOR!

    Converter 12km3 em cm3

    Multiplica PREFIXO SÍMBOLO VALOR Divide
    kilo k 103
    Centi c 10-2

    103 10-2 = 103-(-2) = 105 Elevado ao cubo: (105)3 = 105.3

    Estamos indo da unidade MAIOR para a MENOR. Logo, vamos multiplicar por 1015

    Então: 12km3 = 12.1015 cm3 ou 1,2.1016cm3

    Agora vamos fazer ao contrário

    Vamos converter 12cm3 em km3

    Multiplica PREFIXO SÍMBOLO VALOR Divide
    kilo k 103
    Centi c 10-2

    103 10-2 = 103-(-2) = 105 Elevado ao cubo: (105)3 = 105.3

    Unidade 12

    Estamos indo da unidade MENOR para a MAIOR. Logo, vamos dividir por 1015

    12cm3 = 121015 km3 = 12.10-15 km3 = 1,2. 10-14 km3

    O LITRO

    De maneira rigorosa, litro não é uma unidade de volume, mas sim de capacidade.

    CAPACIDADE

    Volume interno de um recipiente.

    Na prática podemos converter litros em unidades de volume tais como m3, cm3, etc.

    O símbolo do litro pode ser a letra (L) maiúscula, (l) minúscula ou cursiva, mas é bom usar a letra maiúscula por conta de fácil identificação.

    1 L equivale a 1 dm3

    Conversão para Litro

    Basta converter para dm3 afinal, 1L = 1dm3

    Agora vamos ver como funciona, ou seja, vamos converter: 12km3 em L

    Multiplica PREFIXO SÍMBOLO VALOR Divide
    kilo k 103
    Deci d 10-1

    103 = 103-(-1) = 104 Elevando ao cubo: (104)3 = 104.3 = 1012

    Estamos indo da unidade MAIOR para a MENOR. Logo, vamos multiplicar por 1012

    12km3 = 12.1012dm3 ou 12.1012L (Afinal 1dm3 = 1L)

    Unidade 12

    Recursos em vídeo

    A fundação Roberto Marinho e a Fundação KhanAcademy produziu vídeos sobre conversão de unidades que poderão subsidiar o seu estudo. Vale a pena conferir!
    https://www.youtube.com/watch?v=P7_wUrhmilc
    https://www.youtube.com/watch?v=KsCCljdQluM

    Sugerimos que assista aos vídeos do youtube “A vaga é minha” no qual aborda sobre conversões de unidades utilizando uma tabela.
    https://www.youtube.com/watch?v=yB8HjRq2pUo
    https://www.youtube.com/watch?v=Z30NTYTELm8
    https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/rates-and-ratios/metric-system-tutorial/v/unit-conversion

    Autoavaliação

    1. Quantos metros existem em 6dm?
    2. Quantos milímetros têm 1 km?
    3. Meu professor, quando vai aos domingos para seu sítio faz os seguintes percursos:
      • Na estrada asfaltada: 38,41 km
      • Na estrada sem asfalto; 2,8 km

    Quantos metros ele percorre na viagem de ida e volta?

    1. Efetue as operações:
      1. 3hm – 24 dam = _____ dam
      2. 2 km + 3,3m = ______ m
    2. A espessura de um vidro é de 2,3 cm. De quantos milímetros é uma espessura desse vidro?
    3. Meu pai tem 1,84m de altura. Qual a sua altura em milímetros?

    Bibliografia

    BOUSIN, Jean-Luís. Dicionário Elementar da Matemática Moderna. Editor: BORDAS, 1972

    BRANDÃO, Marcius. Matemática. São Paulo: Ed. Do Brasil, 1968

    Gardner, Martin. Ah! Descobri jogos e diversões matemáticas. Ed. Gradiva, 1990

    LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática, 1987.

    MAEDER, Algocyr Munhor. Curso de Matemática. Ed. Melhoramentos, 1951

    MATOS, José Manuel. Didática da Matemática – Universidade Aberta, 1996

    RABELO, Edmar Henrique. Textos matemáticos: produção, interpretação e resoluções de problemas. Petrópolis: Vozes, 2002

    SANFIORGI, Osvaldo. Matemática: Curso Moderno. Ed. Nacional, 1967

    TAHAM, Malba. As maravilhas da Matemática. Ed. Bloch, 1983

    TOLEDO, Maria. Didática de Matemática: Como dois e dois: a construção de matemática. São Paulo: FTD, 1997.